What is your Prior Worth? Effective Sample Size and Sample Size Planning for Gaussian Graphical Models

技術要約：事前分布の重みは？ガウス型グラフィカルモデルにおける有効サンプルサイズとサンプルサイズ設計

問題提起
ガウス型グラフィカルモデル（GGM）のベイズ解析において、研究者は精度行列 $\Theta$ の推定を正則化するために、先行研究から得られた情報的事前分布を利用することが多い。GGMにおける標準的な共役事前分布は、ウィシャート分布（完全グラフの場合）およびG-ウィシャート分布（疎なグラフの場合）である。これらの事前分布は、自由度 ($\nu$) とスケール行列 ($\Psi$) というハイパーパラメータによって制御される。

既存の文献には、これらの多変量かつ制約付き分布における「事前有効サンプルサイズ（ESS）」の定量化に関する重大な空白が存在する。$\nu$ はしばしば先行研究の規模として解釈されるが、それは独立した観測値の単位としての実際の情報量を正確に反映していない。なぜなら、精度行列の各要素は依存関係にあり、事前分布の情報量は $\Psi$ がエンコードする全共分散構造およびグラフのトポロジーに依存するためである。原理的なESSの尺度なしでは、研究者はサンプルサイズ設計を行うための根拠を欠くことになる。すなわち、新しいデータセットが事前分布を支配するためにどれほど大きくあるべきかを決定することも、情報的事前分布が関与する場合のベイズ因子設計分析（BFDA）を効果的に設計することもできない。既存のESS手法は、主に単変量または制約のない多変量設定に限定されており、ウィシャート分布やG-ウィシャート分布には拡張されていない。

手法
著者らは、研究設計への適用性を確保するために、データ収集前のみに特化した、GGMのための「事前データESSフレームワーク」を定式化している。この手法は、主に以下の3つのコンポーネントで構成される。

1. ESS推定量の適応: 単変量または一般的な多変量設定（Neuenschwander et al., 2020）のために開発された5つの事前データESS推定量を、ウィシャートおよびG-ウィシャート事前分布下の精度行列 $\Theta$ に対して適応させた。これらには以下が含まれる：

   • 分散比（VR）
   • 精度比（PR）
   • Morita-Thall-Müller（MTM）
   • Pennello-Thompson（PT）
   • 期待局所情報比（ELIR）

   著者らは、これらの推定量を集計するための2つのスキームを定義している：

   • グローバルESS: 分子（期待情報量）と分母（事前分散）の行列の行列式比を、$d = p(p+1)/2$ 乗（ここで $d$ は次元数）して算出される。
   • パラメータ別ESS: 分子と分母の行列のコレスキー分解を通じて導出され、精度行列の各一意な要素 $\theta_{ij}$ ごとにESS値を提供する。

   ウィシャート事前分布については、解析的な閉形式の表現が導出されている。非分解グラフにおいて正規化定数が計算困難なG-ウィシャート事前分布については、推定値はモンテカルロ・シミュレーションによって計算される。

2. データ対事前分布情報比（DPIR）: 事前分布がデータを支配するために必要なサンプルサイズ $n^\star$ を決定するための、新しい計画戦略を導入する。DPIRは、データの期待フィッシャー情報の行列式と、事前分布の観測フィッシャー情報の行列式の比として定義される。最適なサンプルサイズは、事前予測分布の下で、データの情報量が事前情報（係数 $\xi \ge 1$ による）を上回る確率が目標閾値 $\tau$（デフォルトは0.99）に達する最小の $n$ である。

3. ベイズ因子設計分析（BFDA）の拡張: エッジの包含または除外に対して十分な証拠を得るために必要なサンプルサイズを決定するために、BFDAをGGMに拡張する。これには以下が含まれる：

   • 条件付き独立性に関する仮説の設定（$H_0: \rho_{ij} = 0$ 対 $H_1: \rho_{ij} \neq 0$）。
   • 完全グラフにおけるSavage-Dickey密度比、および疎なグラフにおける正規化定数のモンテカルロ推定。
   • 効果量の大きさに関する必要サンプルサイズの単調性を活用し、最も検出しにくいエッジに対してサンプルサイズが十分であることを保証するための、「プランニング・エッジ（計画用エッジ）」の選択（事前部分相関の $q$ パーセンタイルに基づく）。

主な結果
提案手法を検証するために、2つのシミュレーション研究が行われた。

• シミュレーション研究 1（ESSの挙動）:

  • MTM、PT、およびELIRの推定量は、$\nu$ と変数個数 $p$ のみに依存し、$\Psi$ やグラフ構造には不変であることが判明した。
  • VRおよびPRの推定量は、$\Psi$ の全構造およびグラフのトポロジーに敏感であることが判明した。
  • VRとPRの間に系統的な「イェンセン・ギャップ（Jensen gap）」が観察された。一般に、VR推定量は $\nu$ より大きい値（$ESS_{VR} > \nu$）を示す一方、PR推定量は $\nu$ より小さい値（$ESS_{PR} < \nu$）を示す。
  • VRとPRの間のギャップは、ネットワークサイズ（$p$）とともに増大し、事前研究の規模（$\nu$）とともに減少する。
  • G-ウィシャート事前分布において、$ESS/\nu$ の比はネットワーク密度に対して非単調な挙動を示す。$ESS_{VR}/\nu$ は中間的な密度でピークに達するが、$ESS_{PR}/\nu$ は密度が増加するにつれて単調に減少する。これは、パラメータ間の依存関係が増えることで、密なネットワークほど事前分布の有効な情報量が $\nu$ に対して減少することを示唆している。

• シミュレーション研究 2（サンプルサイズ設計）:

  • DPIRおよびBFDA戦略は、様々なグラフ構造（Erdős-Rényi、Barabási-Albert、Watts-Strogatz）および事前分布の仕様にわたって検証された。
  • 結果は、これら2つの戦略が補完的な目標をターゲットとしていることを確認した。すなわち、DPIRはデータによる事前分布の支配を保証し、BFDAは特定のエッジ検出のための十分な検出力を保証する。
  • 計画されたサンプルサイズ（$n^\star$）は、特にプランニング・エッジの選択や事前信号の強さに関して、事前分布の誤設定に対して敏感であることが示された。
  • 本研究は、サンプルサイズ設計において $\nu$ のみに頼ることは誤解を招く可能性があることを示した。実際のESSおよび結果として得られる $n^\star$ は、グラフの密度や事前精度行列の特定の幾何学的構造に応じて大きく異なる可能性がある。

意義と貢献
本論文は、GGMの事前ESSを定量化し、サンプルサイズ設計を行うための初の原理的な枠組みを提供することで、GGMのベイズ文献における重要な空白を埋めるものである。具体的な貢献は以下の通りである：

1. 事前データESSの定式化: 精度行列に固有の依存構造を考慮した、ウィシャートおよびG-ウィシャート事前分布のためのグローバルおよびパラメータ別のESS尺度の導出。
2. 計画戦略: DPIRの手順とBFDAのGGMへの拡張を導入し、事前分布の情報量を考慮した、サンプルサイズ決定のための2つの補完的なルートを提示。
3. ソフトウェアの実装: すべての推定器とフル機能のDPIR–BFDAパイプラインを実装したオープンソースのRパッケージ designbgm を提供し、これらの手法を研究者が利用可能にする。

著者らは、これらのツールがなければ、GGMのための情報的事前分布を抽出する研究者は、サンプルサイズを決定するための厳密な根拠を欠くことになり、その結果、事前分布が事後分布を支配してしまう、あるいはエッジ検出の検出力が不足するといった事態を招く可能性があると結論付けている。提案された手法により、研究者は自身の計画された研究が事前分布を上回る十分な情報量を持っているかを評価し、特定のネットワークエッジに対して決定的な証拠を得るための研究を設計することが可能となる。