What is your Prior Worth? Effective Sample Size and Sample Size Planning for Gaussian Graphical Models

技术摘要：先验权重？高斯图形模型中的有效样本量与样本量规划

问题陈述
在高斯图形模型（GGMs）的贝叶斯分析中，研究人员通常利用来自先前研究的有信息先验来正则化精度矩阵 $\Theta$ 的估计。GGMs 的标准共轭先验是 Wishart 分布（针对完全图）和 G-Wishart 分布（针对稀疏图）。这些先验由超参数控制：自由度 ($\nu$) 和尺度矩阵 ($\Psi$)。

在量化这些受约束多元分布的“先验有效样本量”（ESS）方面，文献中存在一个关键空白。虽然 $\nu$ 常被解释为先验研究的规模，但它并不能准确反映先验在独立观测值单位下的实际信息含量。这是因为精度矩阵的各项是相关的，且先验的信息量取决于 $\Psi$ 所编码的完整协方差结构以及图拓扑结构 $G$。由于缺乏原则性的 ESS 度量，研究人员无法进行样本量规划：他们无法确定新数据集需要多大才能使数据主导先验，也无法在涉及有信息先验时有效地进行贝叶斯因子设计分析（BFDA）。现有的 ESS 方法主要局限于单变量或无约束多元设置，无法扩展到 Wishart 或 G-Wishart 分布。

方法论
作者为 GGMs 形式化了一个仅在数据收集前运行的“前数据（pre-data）”ESS 框架，以确保其在研究设计中的适用性。该方法包含三个主要部分：

1. 适配 ESS 估计量： 将五种最初为单变量或一般多元设置开发的前数据 ESS 估计量（Neuenschwander 等，2020）适配到 Wishart 和 G-Wishart 先验下的精度矩阵 $\Theta$。这些估计量包括：

   • 方差比率 (VR)
   • 精密度比率 (PR)
   • Morita-Thall-Müller (MTM)
   • Pennello-Thompson (PT)
   • 预期局部信息比率 (ELIR)

   作者定义了两种聚合方案：

   • 全局 ESS： 通过分子矩阵（代表预期信息）与分母矩阵（代表先验方差）的行列式比值的 $1/d$ 次方进行计算（其中 $d = p(p+1)/2$）。
   • 参数化 ESS： 通过分子和分母矩阵的 Cholesky 分解导出，为精度矩阵的每个唯一条目 $\theta_{ij}$ 提供一个 ESS 值。

   对于 Wishart 先验，推导出了解析闭式表达式。对于 G-Wishart 先验（由于在非可分解图中正规化常数难以处理），通过蒙特卡洛模拟计算估计量。

2. 数据-先验信息比率 (DPIR)： 引入了一种新的规划策略，用于确定使数据主导先验所需的样本量 $n^\star$。DPIR 定义为数据预期费雪信息量的行列式与先验观测费雪信息量行列式的比率。最优样本量是满足以下条件的最小 $n$：在先验预测分布下，数据信息超过先验信息（倍数 $\xi \ge 1$）的概率达到目标阈值 $\tau$（默认为 0.99）。

3. 贝叶斯因子设计分析 (BFDA) 扩展： 作者将 BFDA 扩展到 GGMs，以确定获得足够的边存在或排除证据所需的样本量。这涉及：

   • 构建条件独立性假设（$H_0: \rho_{ij} = 0$ vs. $H_1: \rho_{ij} \neq 0$）。
   • 使用完全图的 Savage-Dickey 密度比和稀疏图的正规化常数蒙特卡洛估计。
   • 基于先验偏相关系数的 $q$-分位数选择一个“规划边”，以确保样本量足以检测出最弱的边，并利用所需样本量随效应量变化的单调性。

关键结果
通过两个模拟研究验证了所提方法的有效性：

• 模拟研究 1 (ESS 行为)：

  • 研究发现 MTM、PT 和 ELIR 估计量仅依赖于 $\nu$ 和变量数量 $p$，使其对尺度矩阵 $\Psi$ 和图结构具有不变性。
  • VR 和 PR 估计量被发现对 $\Psi$ 的完整结构和图拓扑敏感。
  • 在 VR 和 PR 之间观察到系统的“Jensen 间隙”。VR 估计量通常产生大于 $\nu$ 的值（$ESS_{VR} > \nu$），而 PR 估计量产生的数值小于 $\nu$（$ESS_{PR} < \nu$）。
  • VR 与 PR 之间的差距随网络规模 ($p$) 增大而增加，随先验研究规模 ($\nu$) 增大而减小。
  • 对于 G-Wishart 先验，比率 $ESS/\nu$ 随网络密度呈现非单调行为。$ESS_{VR}/\nu$ 在中间密度处达到峰值，而 $ESS_{PR}/\nu$ 随密度增加单调递减。这表明，由于参数依赖性的增加，较密的网络会降低先验相对于 $\nu$ 的有效信息量。

• 模拟研究 2 (样本量规划)：

  • DPIR 和 BFDA 策略在各种图结构（Erdős-Rényi, Barabási-Albert, Watts-Strogatz）和先验规范下得到了验证。
  • 结果证实了两种策略针对的是互补的目标：DPIR 确保数据对先验的主导地位，而 BFDA 确保特定边检测的统计功效。
  • 研究表明，规划的样本量 ($n^\star$) 对先验误设定非常敏感，特别是关于规划边的选择和先验信号的强度。
  • 研究证明，仅依靠 $\nu$ 进行样本量规划可能具有误导性；实际的 ESS 以及由此产生的 $n^\star$ 会根据图密度和特定先验精度矩阵的几何形状而发生显著变化。

意义与贡献
本文声称填补了贝叶斯 GGM 文献中的一个关键空白，提供了量化先验 ESS 并进行样本量规划的首个原则性框架。具体贡献如下：

1. 形式化前数据 ESS： 推导了 Wishart 和 G-Wishart 先验的全局和参数化 ESS 度量，承认了精度矩阵固有的依赖结构。
2. 规划策略： 引入了 DPIR 程序并扩展了应用于 GGMs 的 BFDA，提供了两种考虑先验信息量的互补路径。
3. 软件实现： 提供了一个开源 R 包 designbgm，实现了所有估计量及完整的 DPIR–BFDA 流水线，使这些方法能够被研究人员广泛使用。

作者得出结论，如果没有这些工具，在为 GGMs 提取有信息先验的研究人员将缺乏确定样本量的严谨依据，可能导致研究中先验占据主导地位，或者边检测的统计功效不足。所提方法允许研究人员评估其计划的研究是否携带足够的信息以抵消先验，并设计能够获得针对特定网络边之结论性证据的研究。