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$L^2$ -Density of Wild Initial Data for the Hypodissipative Navier-Stokes Equations

本文证明了对于拉普拉斯指数 $\theta < 1/3$ 的三维欠耗散纳维-斯托克斯方程，产生非唯一耗散弱解的 $C^\beta$ 赫尔德连续初始数据集（其中 $\theta < \beta < 1/3$ ）在 $L^2$ 无散向量场空间中是稠密的，从而将此前关于欧拉方程及无数个野蛮初始数据的非唯一性结果扩展到了一个拓扑上更强的稠密性陈述。

原作者： Michele Gorini

发布于 2022-05-30

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原作者： Michele Gorini

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想象一下，宇宙是一个巨大的、无形的流体海洋，其中涌动着我们称之为风或水的电流。一个多世纪以来，数学家们一直试图为这种流体的运动编写一本完美的规则手册。最著名的规则手册被称为纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）。它就像是一本终极说明书，解释了一滴水如何流动、一缕烟如何卷曲，或者空气如何掠过机翼。

但转折点在于：没有人知道这本手册是否是唯一的。如果你给这本手册一个特定的初始图像（比如一个平静的湖泊），它是否会产生唯一的一个未来？或者，同一个初始图像是否可能导致两个完全不同的未来，就像在路口分叉处，流体在一种版本中突然开始疯狂旋转，而在另一种版本中却保持平静？

这篇由米凯莱·戈里尼（Michele Gorini）撰写的论文，深入研究了该规则手册的一个稍作修改的版本。作者没有引入减缓流体运动的标准摩擦力，而是引入了一个“欠耗散（hypodissipative）”版本。你可以将其想象为一种比正常情况下更“不粘稠”的流体，或者摩擦力以一种奇特的、分数形式发挥作用的流体。

重大发现：“狂野”的开端

这篇论文的主要发现有点像是在流体物理学的矩阵中找到了一个“故障”。作者证明了对于这些粘性较小的流体，存在着一大群极其稠密的初始条件——被称为**“狂野初始数据（wild initial data）”**——它们会导致预测性的彻底崩溃。

如果你从这个“狂野”集合中选择一个初始状态，数学会告诉你，你不仅仅可以拥有一个未来。你可以拥有无数个不同的未来。这就像你布置了一连串多米诺骨牌，根据宇宙采取的无形路径不同，多米诺骨牌可能会排成直线倒下，可能会螺旋式卷入龙卷风，或者跳起踢踏舞，而根据规则，所有这些情况在数学上都是有效的。

论文表明，这些“狂野”的起始点并非罕见的异常情况。它们无处不在。如果你取任何一个平滑、正常的流体初始状态，只需对其进行极其微小的扰动（小到你甚至看不出区别），就能将其变成一个会爆发成无限可能性的“狂野”状态。这里的“狂野”指的是初始数据本身的性质：它导致了非唯一性，即从该起点出发存在无穷多条合法的演化路径。

论文排除了什么（“不”清单）

论文对于它没有说的话非常谨慎。它并没有证明标准的、具有粘性的纳维-斯托克斯方程（即我们在现实世界天气和工程中使用的方程）是不可预测的。它仅证明了对于摩擦力更弱的“欠耗散”版本是如此。

此外，论文反驳了我们可以始终保证在所有时间内拥有单一、唯一解的观点。虽然我们知道在极短的时间内，事物可能是可预测的，但作者表明，对于这些特定的“狂野”开端，单一路径的保证消失了。论文还澄清，虽然我们可以证明这些狂野解的存在，但它们是“弱解（weak solutions）”。可以将它们想象为在宏观统计层面上有效，但在某些地方可能存在粗糙边缘或奇点的解，而不是在任何地方都完美平滑且光亮。

我们有多确定？（证明过程）

这不是一种猜测、模拟或计算机模型。作者在数学上证明了这一点。这是一个严谨的、循序渐进的逻辑构建过程。

为了做到这一点，作者使用了一种称为**凸集成（Convex Integration）**的技术。想象你正试图用粘土制作一个雕塑，但你有一个严格的规则：最终形状必须看起来像一条特定的平滑曲线。你不是直接塑造出完美的形状，而是从一个粗糙的块体开始。然后，你在表面添加微小的、高频的涟漪（就像微小的波浪）。这些涟波如此快速且微小，以至于从远处看，雕塑仍然显得平滑，但近看时，它们正在通过所有的重体力活来满足复杂的规则。

作者构建了一系列这样的“粗糙”解，不断添加更多的涟波，越来越接近最终的“狂野”状态。他们证明了这个过程是有效的，且最终结果是一个表现狂野的有效解。

权衡：正则性与存在时间

这里有一个重要的权衡，且论文对此非常诚实。虽然作者证明了这些狂野解的存在，但我们需要区分解的“平滑程度”（正则性）和“能量守恒规则”（适定性/能量不等式）的保持时间。

论文表明，这是一个两难的选择：要么保证解在一段固定的有限时间内具有更高的平滑度（正则性），但此时能量不等式（适定性）只能保证在更短且随初始条件变化的时间内成立；要么通过用勒雷解（Leray solution）替换解中可能不适定的部分，使解在全局时间（直到 $t = \infty$ ）上都满足能量不等式，但代价是解的高阶正则性只能在那段较短的时间内得到保证。

换句话说，作者并没有说混沌会迅速消失或时间限制会缩减至零。相反，作者展示了一种权衡：你可以选择让解在整个时间轴上都符合物理能量规则（全局适定），但此时解的精细结构（高阶正则性）只在短时间内是确定的；或者你可以关注短时间内的精细结构，但此时能量规则的保证时间会更短。这种灵活性正是“狂野”初始数据导致非唯一性的核心所在。

总结

简单来说，这篇论文是在说：“如果你以特定的方式减弱流体摩擦力，那么可能的未来宇宙就会变得极其混乱。到处都存在可以导致无数种不同结果的起始点（狂野数据），这种非唯一性是初始状态固有的属性。”

它并没有打破现实世界中水或空气的物理规律，但它打破了关于“每一版流体方程都必须有一个单一、唯一答案”的数学希望。它表明，对于一个特定的、稍作改变的规则版本，未来并非刻在石头上的——它是用墨水写成的，只要你以正确的“狂野”混沌作为开端，它就可以被以无数种方式重新书写。

技术摘要：欠耗散纳维-斯托克斯方程中野性初始数据的 $L^2$ -稠密性

问题陈述
本文研究了三维周期性设定 ( $\mathbb{T}^3$ ) 下欠耗散纳维-斯托克斯方程的 Cauchy 问题。该系统由下式给出：
$\begin{cases} \partial_t v + \text{div}(v \otimes v) + \nabla p + (-\Delta)^\theta v = 0 \\ \text{div} v = 0 \end{cases}$
其中耗散指数满足 $\theta < 1/3$ 。作者研究了耗散弱解（也称为容许解或 Leray 解）的唯一性，这些解满足能量不等式：
$\frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,t)|^2 dx + \int_0^t \int_{\mathbb{T}^3} |(-\Delta)^{\theta/2} v(x,s)|^2 dx ds \leq \frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,0)|^2 dx.$
虽然此类解的存在性是已知的（通过对 Leray 经典论证的改进），但其唯一性问题仍是一个开放问题。先前的研究 ([8, 20]) 已经证明了对于特定的 Hölder 类 $C^\beta$ 中的“野性”初始数据（其中 $\theta < \beta < 1/3$ ），存在无穷多非唯一的解。然而，此类初始数据的拓扑规模尚未得到充分表征。本文旨在证明，导致非唯一性的初始数据集合在无散 $L^2$ 向量场空间中是稠密的。

方法论
证明依赖于凸积分技术，该方法由 Nash 和 Kuiper 率先用于等距嵌入，并由 De Lellis 和 Székelyhidi 引入流体力学领域。该策略涉及构造一系列趋向于弱解的近似解（“次解”）。

次解层级： 作者定义了三类次解：
- 严格次解： 满足松弛方程且具有正半定 Reynolds 应力的光滑解。
- 强次解： Reynolds 应力受其迹的幂次控制的次解，允许进行迭代改进。
- 适配次解： 当 Reynolds 应力在 $t=0$ 时消失时， $C^1$ 范数具有特定爆发率的强次解，旨在处理初始数据的正则性。
迭代方案： 证明的核心由两个主要的近似步骤组成，并进行归纳重复：
- 粘合步骤（第 8 节）： 一种将解在不相交时间区间上拼接起来的局部化程序。该步骤利用“粘合”技术（引入于 [25]）以确保 Reynolds 应力支撑在两两不相交的时间区间上，从而防止扰动中的混合项。该步骤涉及输运-扩散方程的平滑化和稳定性估计。
- 扰动步骤（第 9 节）： 构造高频扰动（Mikado 流）以吸收 Reynolds 应力。与 Euler 情况不同，分数阶耗散项 $(-\Delta)^\theta v$ 的存在要求对能量平衡进行仔细控制。作者引入了一个“耗散迹项”来管理能量不等式，以确保构造的解在短时间内保持容许性。
参数控制： 该方案涉及代表振幅和频率的一系列参数 $(\delta_q, \lambda_q)$ 。作者引入了一个新参数 $\Lambda$ 以及指数之间的特定关系，以控制耗散项与凸积分误差之间的相互作用。解决的一个关键技术挑战是控制能量不等式中的耗散项，这限制了可以保证容许性的时间区间 $T(\eta)$ 。

主要贡献与结果

定理 1.1（野性数据的存在性）： 对于任何 $\theta < \beta < 1/3$ 及任何 $L^2$ 初始数据 $w$ ，存在一个与 $w$ 任意接近的 $C^\beta$ 初始数据 $w_\eta$ ( $\|w_\eta - w\|_{L^2} < \eta$ )，使得从 $w_\eta$ 出发的弱解 $v_\eta$ 有无穷多个。这些解在时间区间 $[0, T(\eta)]$ 上满足能量不等式，其中当 $\eta \to 0$ 时， $T(\eta) \to 0$ 。
推论 1.1（可变容许时间的稠密性）： 产生非唯一容许解的 $C^\beta$ 初始数据集合在无散 $L^2$ 向量场集合中是稠密的。
定理 1.2（产生不规则解的正则数据的稠密性）： 在 $L^\infty_t H^\theta_x$ 类中导致非唯一解的初始数据集合在无散 $L^2$ 向量场空间中也是稠密的。

意义与主张
本文声称通过建立野性初始数据的拓扑稠密性，改进了以往关于欠耗散纳维-斯托克斯方程的非唯一性结果 ([8, 20])，而该性质此前仅在 Euler 方程中已知 ([14, 13])。

泛化： 结果将野性初始数据的稠密性从 Euler 方程推广到了欠耗散纳维-斯托克斯方程。
容许性与正则性的权衡： 定理 1.1 和推论 1.1 提供了较高的正则性（ $C^\beta$ ），但容许性（能量不等式）仅能在随初始数据逼近而收缩至零的时间区间 $T(\eta)$ 内得到保证。相比之下，定理 1.2 通过用 Leray 解替换解中可能不满足容许性的部分，实现了从正则性到容许性的转换。这种交换使得解变为全局解，从而能够在所有时间（ $t = \infty$ ）保证容许性，但代价是牺牲了较高的正则性。
时间限制： 作者明确指出，在推论 1.1 的设定下，只有在时间区间 $T(\eta)$ 上才能保证容许性条件（能量不等式），而当初始数据趋于目标 $L^2$ 函数时，该区间收缩至零。这是由于在凸积分过程中需要控制能量平衡中的耗散项所导致的必然结果。而在定理 1.2 中，通过引入 Leray 解，克服了这一时间限制。
范围： 结果适用于所有 $\theta < 1/3$ 。本文并未声称对 $\theta \geq 1/3$ 的结果，也未声称解决了所有时间或所有初始数据的唯一性问题，而是展示了在稠密的一组初始条件下，容许解类中非唯一性的普遍存在。

该工作高度依赖于凸积分的构造性方法，将为 Euler 方程开发的“粘合”和“扰动”策略扩展到分数阶耗散的设定中，同时应对由能量不等式带来的额外约束。

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