$L^2$-Density of Wild Initial Data for the Hypodissipative Navier-Stokes Equations

Technische Samenvatting: $L^2$-dichtheid van wilde initiële data voor de hypodissipatieve Navier-Stokes-vergelijkingen

Probleemstelling
Dit artikel behandelt het Cauchy-probleem voor de hypodissipatieve Navier-Stokes-vergelijkingen in de driedimensionale periodieke setting ($\mathbb{T}^3$). Het systeem wordt gegeven door:
$$\begin{cases} \partial_t v + \text{div}(v \otimes v) + \nabla p + (-\Delta)^\theta v = 0 \\ \text{div} v = 0 \end{cases}$$
waarbij de dissipatie-exponent voldoet aan $\theta < 1/3$. De auteur onderzoekt de uniciteit van dissipatieve zwakke oplossingen (ook wel admissible of Leray-oplossingen genoemd), die de energie-ongelijkheid bevredigen:
$$\frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,t)|^2 dx + \int_0^t \int_{\mathbb{T}^3} |(-\Delta)^{\theta/2} v(x,s)|^2 dx ds \leq \frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,0)|^2 dx.$$
Hoewel het bestaan van dergelijke oplossingen bekend is (via aanpassing van Lerays klassieke argumenten), blijft de vraag naar hun uniciteit open. Eerdere werken ([8, 20]) stelden het bestaan vast van oneindig veel niet-unieke oplossingen voor specifieke "wilde" initiële data in de Hölder-klasse $C^\beta$ voor $\theta < \beta < 1/3$. De topologische omvang van de verzameling van dergelijke initiële data was echter niet volledig gekarakteriseerd. Dit artikel beoogt te bewijzen dat de verzameling van initiële data die leidt tot niet-uniciteit dicht is in de ruimte van divergentievrije $L^2$ vectorvelden.

Methodologie
Het bewijs rust op de convex integration techniek, een methode die werd gepionierd door Nash en Kuiper voor isometrische inbeddingen en werd aangepast aan de vloeistofdynamica door De Lellis en Székelyhidi. De strategie behelst het construeren van een sequentie van benaderende oplossingen ("sub-oplossingen") die convergeren naar een zwakke oplossing.

1. Hiërarchie van sub-oplossingen: De auteur definieert drie typen sub-oplossingen:

   • Strikte sub-oplossingen: Gladde oplossingen van de ontspannen vergelijking met een positief semi-definiete Reynolds-spanning.
   • Sterke sub-oplossingen: Sub-oplossingen waarbij de Reynolds-spanning wordt gecontroleerd door een macht van de spoorwaarde, wat iteratieve verbetering mogelijk maakt.
   • Aangepaste sub-oplossingen: Sterke sub-oplossingen met specifieke blow-up snelheden van de $C^1$-norm naarmate de Reynolds-spanning naar nul gaat bij $t=0$, afgestemd op de regulariteit van de initiële data.

2. Iteratief schema: De kern van het bewijs bestaat uit twee belangrijke benaderingsstappen, die inductief worden herhaald:

   • Gluing-stap (Sectie 8): Een gelokaliseerde procedure die oplossingen op disjuncte tijdsintervallen aan elkaar plakt. Deze stap maakt gebruik van een "gluing"-techniek (geïntroduceerd in [25]) om te garanderen dat de Reynolds-spanning wordt ondersteund op paarwijs disjuncte tijdsintervallen, wat gemengde termen in de perturbatie voorkomt. Deze stap omvat mollificatie en stabiliteitsschattingen voor transport-diffusievergelijkingen.
   • Perturbatie-stap (Sectie 9): Een constructie van hoogfrequente perturbaties (Mikado-stromingen) om de Reynolds-spanning te absorberen. In tegenstelling tot het Euler-geval vereist de aanwezigheid van de fractie-dissipatie term $(-\Delta)^\theta v$ een zorgvuldige controle van de energiebalans. De auteur introduceert een "dissipatieve spoorterm" om de energie-ongelijkheid te beheren, waardoor wordt gegarandeerd dat de geconstrueerde oplossingen een korte tijd admissible blijven.

3. Parametercontrole: Het schema omvat een sequentie van parameters $(\delta_q, \lambda_q)$ die amplitude en frequentie representeren. De auteur introduceert een nieuwe parameter $\Lambda$ en specifieke relaties tussen exponenten om de interactie tussen de dissipatie term en de convex integration-fouten te controleren. Een kritieke technische uitdaging die wordt aangepakt, is het controleren van de dissipatie term in de energie-ongelijkheid, wat het tijdsinterval $T(\eta)$ beperkt waarover admissible-heid gegarandeerd kan worden.

Belangrijke Bijdragen en Resultaten

• Stelling 1.1 (Bestaan van Wilde Data): Voor elke $\theta < \beta < 1/3$ en elke $L^2$ initiële datum $w$, bestaat er een $C^\beta$ initiële datum $w_\eta$ die willekeurig dicht bij $w$ ligt ($\|w_\eta - w\|_{L^2} < \eta$) waarvoor er oneindig veel zwakke oplossingen $v_\eta$ bestaan die vertrekken vanuit $w_\eta$. Deze oplossingen voldoen aan de energie-ongelijkheid op een tijdsinterval $[0, T(\eta)]$, waarbij $T(\eta) \to 0$ als $\eta \to 0$.
• Corollary 1.1 (Density for variable admissibility time): De verzameling van $C^\beta$ initiële data die aanleiding geeft tot niet-unieke admissible oplossingen is dicht in de verzameling van divergentievrije $L^2$ vectorvelden.
• Stelling 1.2 (Density of regular data producing irregular solutions): De verzameling van initiële data die leidt tot niet-unieke oplossingen in de klasse $L^\infty_t H^\theta_x$ is eveneens dicht in de ruimte van divergentievrije $L^2$ vectorvelden.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de eerdere resultaten over niet-uniciteit voor de hypodissipatieve Navier-Stokes-vergelijkingen ([8, 20]) te verbeteren door de topologische dichtheid van wilde initiële data vast te stellen, een eigenschap die voorheen alleen bekend was voor de Euler-vergelijkingen ([14, 13]).

• Generalisatie: De resultaten generaliseren de dichtheid van wilde initiële data van de Euler-vergelijkingen naar de hypodissipatieve Navier-Stokes-vergelijkingen.
• Admissibiliteit: De geconstrueerde oplossingen zijn dissipatief (admissible) en voldoen aan de energie-ongelijkheid, wat hen onderscheidt van niet-admissible oplossingen waar niet-uniciteit vaak gemakkelijker te bewijzen is (bijv. [21]).
• Relatie tussen Stelling 1.1/Corollary 1.1 en Stelling 1.2: Er is een expliciete trade-off tussen regulariteit en admissibiliteit. Corollary 1.1 levert oplossingen met hogere regulariteit ($C^\beta$), maar de admissibiliteit (de energie-ongelijkheid) is slechts gegarandeerd op een tijdsinterval $T(\eta)$ dat naar nul krimpt naarmate de initiële data de doelstelling $L^2$-functie nadert. In tegenstelling hieraan, maakt de overgang naar Stelling 1.2 het mogelijk om de admissibiliteit voor alle tijd ($t = \infty$) te garanderen. Dit wordt bereikt door het potentieel inadmissible deel van de oplossing te vervangen door een Leray-oplossing, wat de oplossingen globaal maakt, maar ten koste gaat van de hogere regulariteit (de oplossingen vallen in de klasse $L^\infty_t H^\theta_x$).
• Omvang: De resultaten gelden voor alle $\theta < 1/3$. Het artikel claimt geen resultaten voor $\theta \geq 1/3$, noch claimt het het probleem van uniciteit voor alle tijd of voor alle initiële data op te lossen, maar demonstreert eerder de prevalentie van niet-uniciteit binnen de klasse van admissible oplossingen voor een dichte verzameling van initiële condities.

Het werk steunt zwaar op de constructieve aanpak van convex integration, waarbij de "gluing" en "perturbatie" strategieën die ontwikkeld zijn voor de Euler-vergelijkingen worden uitgebreid naar de setting van fractie-dissipatie, terwijl rekening wordt gehouden met de extra beperkingen die worden opgelegd door de energie-ongelijkheid.