$L^2$-Density of Wild Initial Data for the Hypodissipative Navier-Stokes Equations

Resumo Técnico: Densidade $L^2$ de Dados Iniciais Selvagens para as Equações de Navier-Stokes Hipodissipativas

Enunciado do Problema
Este artigo aborda o problema de Cauchy para as equações de Navier-Stokes hipodissipativas no cenário periódico tridimensional ($\mathbb{T}^3$). O sistema é dado por:
$$\begin{cases} \partial_t v + \text{div}(v \otimes v) + \nabla p + (-\Delta)^\theta v = 0 \\ \text{div} v = 0 \end{cases}$$
onde o expoente de dissipação satisfaz $\theta < 1/3$. O autor investiga a unicidade de soluções fracas dissipativas (também chamadas de soluções admissíveis ou de Leray), que satisfazem a desigualdade de energia:
$$\frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,t)|^2 dx + \int_0^t \int_{\mathbb{T}^3} |(-\Delta)^{\theta/2} v(x,s)|^2 dx ds \leq \frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,0)|^2 dx.$$
Embora a existência de tais soluções seja conhecida (via adaptação dos argumentos clássicos de Leray), a questão de sua unicidade permanece aberta. Trabalhos anteriores ([8, 20]) estabeleceram a existência de infinitas soluções não únicas para dados iniciais "selvagens" específicos na classe de Hölder $C^\beta$ para $\theta < \beta < 1/3$. No entanto, o tamanho topológico do conjunto de tais dados iniciais não foi totalmente caracterizado. Este artigo visa provar que o conjunto de dados iniciais que levam à não unicidade é denso no espaço de campos vetoriais $L^2$ sem divergência.

Metodologia
A prova baseia-se na técnica de integração convexa, um método pioneiro de Nash e Kuiper para imersões isométricas e adaptado para a dinâmica de fluidos por De Lellis e Székelyhidi. A estratégia envolve a construção de uma sequência de soluções aproximadas ("subsoluções") que convergem para uma solução fraca.

1. Hierarquia de Subsoluções: O autor define três tipos de subsoluções:

   • Subsoluções estritas: Soluções suaves para a equação relaxada com uma tensão de Reynolds semidefinida positiva.
   • Subsoluções fortes: Subsoluções onde a tensão de Reynolds é controlada por uma potência de seu traço, permitindo melhoria iterativa.
   • Subsoluções adaptadas: Subsoluções fortes com taxas de explosão específicas da norma $C^1$ conforme a tensão de Reynolds desaparece em $t=0$, ajustadas para lidar com a regularidade dos dados iniciais.

2. Esquema Iterativo: O núcleo da prova consiste em dois passos principais de aproximação, repetidos indutivamente:

   • Passo de Colagem (Seção 8): Um procedimento localizado que une soluções em intervalos de tempo disjuntos. Este passo utiliza uma técnica de "colagem" (introduzida em [25]) para garantir que a tensão de Reynolds seja suportada em intervalos de tempo disjuntos entre si, evitando termos mistos na perturbação. Este passo envolve suavização (mollification) e estimativas de estabilidade para equações de transporte-difusão.
   • Passo de Perturbação (Seção 9): Uma construção de perturbações de alta frequência (fluxos Mikado) para absorver a tensão de Reynolds. Diferente do caso de Euler, a presença do termo de dissipação fracionária $(-\Delta)^\theta v$ requer controle cuidadoso do balanço de energia. O autor introduz um "termo de traço dissipativo" para gerenciar a desigualdade de energia, garantindo que as soluções construídas permaneçam admissíveis por um curto período.

3. Controle de Parâmetros: O esquema envolve uma sequência de parâmetros $(\delta_q, \lambda_q)$ representando amplitude e frequência. O autor introduz um novo parâmetro $\Lambda$ e relações específicas entre expoentes para controlar a interação entre o termo de dissipação e os erros de integração convexa. Um desafio técnico crítico abordado é o controle do termo de dissipação na desigualdade de energia, o que limita o intervalo de tempo $T(\eta)$ sobre o qual a admissibilidade pode ser garantida.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 1.1 (Existência de Dados Selvagens): Para qualquer $\theta < \beta < 1/3$ e qualquer dado inicial $L^2$ $w$, existe um dado inicial $C^\beta$ $w_\eta$ arbitrariamente próximo de $w$ ($\|w_\eta - w\|_{L^2} < \eta$) tal que existem infinitas soluções fracas $v_\eta$ partindo de $w_\eta$. Estas soluções satisfazem a desigualdade de energia em um intervalo de tempo $[0, T(\eta)]$, onde $T(\eta) \to 0$ quando $\eta \to 0$.
• Corolário 1.1 (Densidade para tempo de admissibilidade variável): O conjunto de dados iniciais $C^\beta$ que dão origem a soluções admissíveis não únicas é denso no conjunto de campos vetoriais $L^2$ sem divergência.
• Teorema 1.2 (Densidade de dados regulares produzindo soluções irregulares): O conjunto de dados iniciais que levam a soluções não únicas na classe $L^\infty_t H^\theta_x$ também é denso no espaço de campos vetoriais $L^2$ sem divergência.

A relação entre o Teorema 1.1 / Corolário 1.1 e o Teorema 1.2 é estabelecida através de uma troca entre regularidade e admissibilidade. Para passar ao Teorema 1.2, a parte potencialmente inadmissível da solução é substituída por uma solução de Leray, o que também torna as soluções globais. Concretamente, a admissibilidade (a desigualdade de energia) pode então ser garantida para todo o tempo ($t = \infty$) à custa da maior regularidade, enquanto o Corolário 1.1 fornece maior regularidade apenas até tempos de admissibilidade menores e variáveis.

Significância e Alegações
O artigo afirma melhorar os resultados de não unicidade anteriores para as equações de Navier-Stokes hipodissipativas ([8, 20]) ao estabelecer a densidade topológica de dados iniciais selvagens, uma propriedade anteriormente conhecida apenas para as equações de Euler ([14, 13]).

• Generalização: Os resultados generalizam a densidade de dados iniciais selvagens das equações de Euler para as equações de Navier-Stokes hipodissipativas.
• Admissibilidade: As soluções construídas são dissipativas (admissíveis), satisfazendo a desigualdade de energia, o que as distingue de soluções não admissíveis onde a não unicidade é frequentemente mais fácil de provar (ex: [21]).
• Limitação de Tempo: O autor observa explicitamente que a condição de admissibilidade (desigualdade de energia) só pode ser garantida em um intervalo de tempo $T(\eta)$ que encolhe para zero conforme o dado inicial se aproxima da função $L^2$ alvo. Esta é uma consequência necessária da necessidade de controlar o termo de dissipação no balanço de energia durante o processo de integração convexa.
• Escopo: Os resultados valem para todo $\theta < 1/3$. O artigo não reivindica resultados para $\theta \geq 1/3$, nem reivindica resolver o problema da unicidade para todo o tempo ou para todos os dados iniciais, mas sim demonstra a prevalência da não unicidade dentro da classe de soluções admissíveis para um conjunto denso de condições iniciais.

O trabalho baseia-se fortemente na abordagem construtiva da integração convexa, estendendo as estratégias de "colagem" e "perturbação" desenvolvidas para as equações de Euler para o cenário de dissipação fracionária, enquanto navega pelas restrições adicionais impostas pela desigualdade de energia.