$L^2$-Density of Wild Initial Data for the Hypodissipative Navier-Stokes Equations

Resumen Técnico: Densidad $L^2$ de Datos Iniciales Salvajes para las Ecuaciones de Navier-Stokes Hipodisipativas

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda el problema de Cauchy para las ecuaciones de Navier-Stokes hipodisipativas en el entorno periódico tridimensional ($\mathbb{T}^3$). El sistema está dado por:
$$\begin{cases} \partial_t v + \text{div}(v \otimes v) + \nabla p + (-\Delta)^\theta v = 0 \\ \text{div} v = 0 \end{cases}$$
donde el exponente de disipación satisface $\theta < 1/3$. El autor investiga la unicidad de las soluciones débiles disipativas (también llamadas soluciones admisibles o de Leray), las cuales satisfacen la desigualdad de energía:
$$\frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,t)|^2 dx + \int_0^t \int_{\mathbb{T}^3} |(-\Delta)^{\theta/2} v(x,s)|^2 dx ds \leq \frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,0)|^2 dx.$$
Si bien la existencia de tales soluciones es conocida (mediante la adaptación de los argumentos clásicos de Leray), la cuestión de su unicidad permanece abierta. Trabajos previos ([8, 20]) establecieron la existencia de infinitas soluciones no únicas para datos iniciales "salvajes" específicos en la clase Hölder $C^\beta$ para $\theta < \beta < 1/3$. Sin embargo, el tamaño topológico del conjunto de tales datos iniciales no fue caracterizado completamente. Este artículo tiene como objetivo demostrar que el conjunto de datos iniciales que conducen a la no unicidad es denso en el espacio de campos vectoriales $L^2$ sin divergencia.

Metodología
La demostración se basa en la técnica de integración convexa, un método pionero de Nash y Kuiper para incrustaciones isométricas y adaptado a la dinámica de fluidos por De Lellis y Székelyhidi. La estrategia consiste en construir una secuencia de soluciones aproximadas ("subsóluciones") que convergen a una solución débil.

1. Jerarquía de Subsóluciones: El autor define tres tipos de subsoluciones:

   • Subsóluciones estrictas: Soluciones suaves de la ecuación relajada con un esfuerzo de Reynolds semidefinido positivo.
   • Subsóluciones fuertes: Subsoluciones donde el esfuerzo de Reynolds está controlado por una potencia de su traza, permitiendo una mejora iterativa.
   • Subsóluciones adaptadas: Subsoluciones fuertes con tasas de explosión específicas de la norma $C^1$ a medida que el esfuerzo de Reynolds desaparece en $t=0$, diseñadas para manejar la regularidad de los datos iniciales.

2. Esquema Iterativo: El núcleo de la demostración consiste en dos pasos principales de aproximación, repetidos de forma inductiva:

   • Paso de Pegado (Sección 8): Un procedimiento localizado que une soluciones en intervalos de tiempo disjuntos. Este paso utiliza una técnica de "pegado" (introducida en [25]) para asegurar que el esfuerzo de Reynolds esté soportado en intervalos de tiempo disjuntos por pares, evitando términos mixtos en la perturbación. Este paso involucra la suavización (mollification) y estimaciones de estabilidad para ecuaciones de transporte-difusión.
   • Paso de Perturbación (Sección 9): Una construcción de perturbaciones de alta frecuencia (flujos Mikado) para absorber el esfuerzo de Reynolds. A diferencia del caso de Euler, la presencia del término de disipación fraccional $(-\Delta)^\theta v$ requiere un control cuidadoso del balance de energía. El autor introduce un "término de traza disipativo" para gestionar la desigualdad de energía, asegurando que las soluciones construidas sigan siendo admisibles durante un tiempo corto.

3. Control de Parámetros: El esquema involucra una secuencia de parámetros $(\delta_q, \lambda_q)$ que representan amplitud y frecuencia. El autor introduce un nuevo parámetro $\Lambda$ y relaciones específicas entre exponentes para controlar la interacción entre el término de disipación y los errores de la integración convexa. Un desafío técnico crítico abordado es el control del término de disipación en la desigualdad de energía, lo cual limita el intervalo de tiempo $T(\eta)$ sobre el cual se puede garantizar la admisibilidad.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema 1.1 (Existencia de Datos Salvajes): Para cualquier $\theta < \beta < 1/3$ y cualquier dato inicial $L^2$ $w$, existe un dato inicial $C^\beta$ $w_\eta$ arbitrariamente cercano a $w$ ($\|w_\eta - w\|_{L^2} < \eta$) tal que existen infinitas soluciones débiles $v_\eta$ partiendo de $w_\eta$. Estas soluciones satisfacen la desigualdad de energía en un intervalo de tiempo $[0, T(\eta)]$, donde $T(\eta) \to 0$ cuando $\eta \to 0$.
• Corolario 1.1 (Densidad para tiempo de admisibilidad variable): El conjunto de datos iniciales $C^\beta$ que dan lugar a soluciones admisibles no únicas es denso en el conjunto de campos vectoriales $L^2$ sin divergencia.
• Teorema 1.2 (Densidad de datos regulares que producen soluciones irregulares): El conjunto de datos iniciales que conducen a soluciones no únicas en la clase $L^\infty_t H^\theta_x$ también es denso en el espacio de campos vectoriales $L^2$ sin divergencia.

Significado y Pretensiones
El artículo pretende mejorar los resultados previos de no unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes hipodisipativas ([8, 20]) estableciendo la densidad topológica de los datos iniciales salvajes, una propiedad previamente conocida solo para las ecuaciones de Euler ([14, 13]).

• Generalización: Los resultados generalizan la densidad de los datos iniciales salvajes de las ecuaciones de Euler a las ecuaciones de Navier-Stokes hipodisipativas.
• Admisibilidad: Las soluciones construidas son disipativas (admisibles), satisfaciendo la desigualdad de energía, lo que las distingue de las soluciones no admisibles donde la no unicidad suele ser más fácil de probar (p. ej., [21]).
• Relación entre Teorema 1.1 / Corolario 1.1 y Teorema 1.2: Existe una compensación explícita entre regularidad y admisibilidad al pasar de los resultados del Corolario 1.1 al Teorema 1.2. El Corolario 1.1 proporciona soluciones con mayor regularidad ($C^\beta$), pero la condición de admisibilidad (desigualdad de energía) solo puede garantizarse en un intervalo de tiempo $T(\eta)$ que se reduce a cero a medida que el dato inicial se acerca a la función $L^2$ objetivo. Por otro lado, el Teorema 1.2 logra soluciones globales (para todo tiempo, $t = \infty$) que satisfacen la desigualdad de energía, pero a costa de una menor regularidad. Esto se logra intercambiando la parte potencialmente inadmisible de la solución construida por integración convexa con una solución de Leray estándar.
• Alcance: Los resultados se mantienen para todo $\theta < 1/3$. El artículo no pretende resultados para $\theta \geq 1/3$, ni pretende resolver el problema de la unicidad para todo el tiempo o para todos los datos iniciales, sino que demuestra la prevalencia de la no unicidad dentro de la clase de soluciones admisibles para un conjunto denso de condiciones iniciales.

El trabajo se apoya fuertemente en el enfoque constructivo de la integración convexa, extendiendo las estrategias de "pegado" y "perturbación" desarrolladas para las ecuaciones de Euler al entorno de la disipación fraccional, mientras navega por las restricciones adicionales impuestas por la desigualdad de energía.