$L^2$-Density of Wild Initial Data for the Hypodissipative Navier-Stokes Equations

技術要約：低散逸型ナビエ・ストークス方程式におけるワイルドな初期データの $L^2$ 稠密性

問題設定
本論文は、3次元周期境界条件 ($\mathbb{T}^3$) における低散逸型ナビエ・ストークス方程式のコーシー問題を扱う。系は以下のように与えられる：
$$\begin{cases} \partial_t v + \text{div}(v \otimes v) + \nabla p + (-\Delta)^\theta v = 0 \\ \text{div} v = 0 \end{cases}$$
ここで、散逸指数は $\theta < 1/3$ を満たす。著者（単一著者）は、以下のエネルギー不等式を満たす散逸的弱解（admissible solution または Leray solution とも呼ばれる）の一意性を調査している：
$$\frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,t)|^2 dx + \int_0^t \int_{\mathbb{T}^3} |(-\Delta)^{\theta/2} v(x,s)|^2 dx ds \leq \frac{1}{2} \int_{\mathbb{T}^3} |v(x,0)|^2 dx.$$
このような解の存在は（Leray の古典的な議論の適応により）既知であるが、その一意性の問題は未解決のままである。先行研究 ([8, 20]) では、$\theta < \beta < 1/3$ の Hölder 級数 $C^\beta$ における特定の「ワイルド」な初期データに対して、無限個の非一意な解が存在することが確立されている。しかし、そのような初期データの集合の位相的な大きさは完全には特徴付けられていなかった。本論文の目的は、非一意性を引き起こす初期データの集合が、発散のない $L^2$ ベクトル場の空間において稠密であることを証明することである。

手法
証明は、Nash と Kuiper によって等長埋め込みのために開拓され、De Lellis と Székelyhidi によって流体力学へと適応された**凸積分法（convex integration technique）**に基づいている。戦略としては、弱解へと収束する近似解（subsolutions）の列を構成することを含む。

1. サブソリューションの階層: 著者は3種類のサブソリューションを定義する：

   • 厳密なサブソリューション (Strict subsolutions): 正定値のレイノルズ応力を伴う、緩和された方程式の滑らかな解。
   • 強いサブソリューション (Strong subsolutions): レイノルズ応力がそのトレースの累乗によって制御されており、反復的な改善が可能であるサブソリューション。
   • 適応されたサブソリューション (Adapted subsolutions): $t=0$ でレイノルズ応力が消失する際の $C^1$ ノルムの特定の爆発率を持つ強いサブソリューションであり、初期データの正則性を扱うために調整されている。

2. 反復スキーム: 証明の核心は、帰納的に繰り返される2つの主要な近似ステップで構成される：

   • 貼り合わせステップ (Gluing Step, セクション8): 互いに素な時間間隔上で解を繋ぎ合わせる局所的な手続き。このステップでは、「貼り合わせ」技術（[25] で導入）を用いて、レイノルズ応力が互いに素な時間間隔上にサポートされるようにし、摂動における混合項を防ぐ。このステップには、輸送拡散方程式の平滑化と安定性評価が含まれる。
   • 摂動ステップ (Perturbation Step, セクション9): レイノルズ応力を吸収するための高周波摂動（Mikado flows）の構成。オイラー方程式の場合とは異なり、分数階散逸項 $(-\Delta)^\theta v$ の存在により、エネルギーバランスの慎重な制御が要求される。著者は、エネルギー不等式を管理するために「散逸的トレース項」を導入し、構成された解が短期間において admissible であることを保証する。

3. パラメータ制御: スキームには、振幅と周波数を表す一連のパラメータ $(\delta_q, \lambda_q)$ が含まれる。著者は、散逸項と凸積分誤差の間の相互作用を制御するために、新しいパラメータ $\Lambda$ と指数の間の特定の関係を導入する。対処すべき重要な技術的課題は、エネルギー不等式における散逸項の制御であり、これにより admissibility が保証される時間間隔 $T(\eta)$ が制限される。

主な貢献と結果

• 定理 1.1 (ワイルドなデータの存在): 任意の $\theta < \beta < 1/3$ および任意の $L^2$ 初期データ $w$ に対して、$w$ に任意に近い（$\|w_\eta - w\|_{L^2} < \eta$）$C^\beta$ 初期データ $w_\eta$ が存在し、その $w_\eta$ から始まる弱解 $v_\eta$ が無限個存在する。これらの解は、$\eta \to 0$ のとき $T(\eta) \to 0$ となる時間間隔 $[0, T(\eta)]$ 上でエネルギー不等式を満たす。
• 系 1.1 (可変 admissibility 時間における稠密性): 非一一的な admissible 解を生じさせる $C^\beta$ 初期データの集合は、発散のない $L^2$ ベクトル場の集合において稠密である。
• 定理 1.2 (不規則解を生成する正則データの稠密性): クラス $L^\infty_t H^\theta_x$ において非一意な解を導く初期データの集合も、発散のない $L^2$ ベクトル場の空間において稠密である。

定理間の関係: 定理 1.1 および系 1.1 から定理 1.2 への移行は、正則性と admissibility（許容性）のトレードオフを反映している。具体的には、解の潜在的に非 admissible な部分を Leray 解と置き換えることで、解を大域的（global）なものとしている。これにより、より高い正則性を犠牲にする代わりに、admissibility（エネルギー不等式）を全時間（$t = \infty$）にわたって保証することが可能になる。一方、系 1.1 は、より高い正則性を提供するものの、admissibility はより短く可変な時間 $T(\eta)$ に限られる。

意義と主張
本論文は、ワイルドな初期データの位相的稠密性を確立することにより、低散逸型ナビエ・ストークス方程式に関する従来の非一意性の結果 ([8, 20]) を改善することを主張している。この性質は、以前はオイラー方程式 ([14, 13]) に対してのみ知られていたものである。

• 一般化: 本結果は、ワイルドな初期データの稠密性を、オイラー方程式から低散逸型ナビエ・ストークス方程式へと一般化するものである。
• Admissibility (許容性): 構成された解は散逸的（admissible）であり、エネルギー不等式を満たす。これは、非一意性の証明がより容易な場合が多い非 admissible な解（例：[21]）とは異なる点である。
• 時間の制限: 著者は、初期データがターゲットとなる $L^2$ 関数に近づくにつれて、admissibility 条件（エネルギー不等式）がゼロに収束する時間間隔 $T(\eta)$ 上でしか保証できないことを明記している（系 1.1 の文脈）。これは、凸積分プロセス中のエネルギーバランスにおける散逸項を制御する必要性から生じる必然的な帰結である。
• 範囲: 結果はすべての $\theta < 1/3$ に対して成立する。本論文は $\theta \geq 1/3$ に関する結果を主張しておらず、また、全時間または全初期データに対する一意性の問題を解決することを主張しているのではなく、むしろ稠密な初期条件の集合内における非一意性の蔓延を実証している。

本研究は、凸積分の構成的アプローチに大きく依存しており、オイラー方程式のために開発された「貼り合わせ」および「摂動」の戦略を、エネルギー不等式によって課される追加の制約をナビゲートしながら、分数階散逸の設定へと拡張している。