On the rank of Leopoldt's and Gross's regulator maps

技术摘要：关于 Leopoldt 与 Gross 调节器映射秩的研究

问题陈述
本文探讨了 Iwasawa 理论和 $p$-进超越理论中的两个核心猜想：Leopoldt 猜想和 Gross-Kuz'min 猜想。

• Leoplemot 猜想： 认为代数数域 $K$ 的全局单位到其在 $p$-进局部处乘积的 $p$-进调节器映射 $\iota_K$ 是单射。其缺陷 $\delta^L_K = \dim_{\mathbb{Q}_p} \ker \iota_K$ 被猜想为零。
• Gross-Kuz'min 猜想： 认为 Gross 调节器映射 $L_K$（将 $p$-单位映射到局部范数乘积中的特定超平面）是满射。其缺陷 $\delta^G_K = \dim_{\mathbb{Q}_p} \operatorname{coker} L_K$ 被猜想为零。

虽然这些猜想在 $\mathbb{Q}$ 或虚二次域的阿贝尔扩张中是已知的，且对于至多有两个 $p$-进素位的域也是成立的，但在一般的代数数域中仍是一个开放问题。本文旨在为这些缺陷建立上界，并证明这些猜想在新的情形下的成立性，特别是针对非阿贝尔扩张和非循环 $\mathbb{Z}_p$-扩张。

方法论
作者综合运用了 $p$-进超越理论和 Artin 形式化理论。

1. Artin 形式化： 缺陷 $\delta^L_K$ 和 $\delta^G_K$ 被分解为与 Galois 群的不可约表示 $\rho$ 相关联的同型分量。本文定义了满足 Artin 形式化标准性质（归纳、上抬和加法性）的缺陷不变量 $\delta^L_k(\rho)$ 和 $\delta^G_k(\rho)$。这使得可以将全局问题简化为关于特定在 $\mathbb{Q}$ 上表示的问题。
2. $p$-进超越理论： 核心分析工具是应用 Waldschmidt、Roy 以及关于 $p$-进对数线性无关性的 Baker-Brumer 定理。具体而言，本文利用 Roy 对 Waldschmidt 定理的强化版本（定理 2.2.1），来建立系数在 $p$-进对数 $\mathbb{Q}$-线性扩张（$\Lambda$）中的矩阵的秩的下界。
3. Galois 上同调与类域论： 缺陷通过 Galois 上同调和 Poitou-Tate 对偶定理被重新解释。Gross 缺陷被识别为涉及 $p$-单位和局部互反映射的局部化映射之余核的维数。这一框架有助于分析非循环 $\mathbb{Z}_p$-扩张。

主要贡献与结果

1. 缺陷的广义界限
本文推广了 Waldschmidt 关于 Leopoldt 缺陷的界限，并为 Gross 缺陷建立了平行的界限。

• 定理 1.4： 对于数域扩张 $K/k$，缺陷满足：
  $$\delta^L_K \leq \delta^L_k + \frac{|S_\infty(K)| - |S_\infty(k)|}{2}$$
  $$\delta^G_K \leq \delta^G_k + \frac{|S_p(K)| - |S_p(k)|}{2}$$
  若 $K$ 包含实素位且 $p$-进素位的数量发生变化，则第二个界限是严格的。这意味着 Gross-Kuz'min 猜想对所有三次数域均成立。

2. 表示论界限（定理 1.5）
对于不可约表示 $\rho \in \operatorname{Art}_{\mathbb{Q}_p}(G_{\mathbb{Q}})$，其不变量为 $d = [K:\mathbb{Q}]$，$d_+ = |S_\infty(K)|$ 以及 $f = |S_p(K)|$，本文证明了：

• $\delta^L_{\mathbb{Q}}(\rho) \leq \frac{d_+^2}{d + d_+}$
• $\delta^G_{\mathbb{Q}}(\rho) \leq \frac{f^2}{d_+ + 2f}$ （假设 $d_+, f$ 不同时为零）。
  这些界限是通过关于局部 Galois 表示的引理以及 Roy 关于矩阵秩的定理推导得出的。

3. 对猜想的应用

• Gross 调节器秩： 推论 1.6 表明，对于全实域 $k$ 和全奇 Artin 表示 $V$，Gross 的 $p$-进调节器矩阵 $R_p(V)$ 的秩至少为其规模的一半。这强化了 Gross 关于其秩为正的经典结论。
• Gross-Kuz'min 猜想的新情形： 推论 1.7 和定理 4.3.2 证明了在以下情形下 Gross-Kuz'min 猜想（即 $\delta^G_K = 0$）成立：
  • 虚二次域的阿贝尔扩张。
  • 至少包含一个实素位的实二次域的阿贝尔扩张。
  • 其他涉及具有 $p$-进素位数量约束（例如实 Galois 扩张中 $|S_p(K)| \leq 6$）的 Galois 扩张情形。

4. 非循环类似物与代数独立性
本文研究了非循环 $\mathbb{Z}_p$-扩张中缺陷消失的情况。

• 定理 1.8： 对于虚二次域 $k$ 及 $p$ 完全分裂的阿贝尔扩张 $K$，最多只有有限个 $\mathbb{Z}_p$-扩张 $k_\infty$ 使得 $\delta^G_{K k_\infty/K} > 0$。
• 条件性不存在性： 如果特定的多项式 $XY Z^2 - (AX - BY)(CX - DY)$ 在 $p$-进对数空间中的任何 $\mathbb{Q}$-线性无关的 7 元组上都不消失（这一条件由弱 $p$-进 Schanuel 猜想所蕴含），那么不存在这样的 $\mathbb{Z}_p$-扩张。
• 斜率分析： 本文通过 $\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{Q}_p)$ 上线性子空间的点对 $\mathbb{Z}_p$-扩张进行参数化。它表明，如果缺陷不为零，则相应扩张的“斜率”必须是超越数（定理 5.1.1）。

意义
本文声称为任意数域提供了目前已知的关于 Leopoldt 和 Gross 缺陷的最佳上界，推广了 Waldschmidt 的结果。通过利用 Artin 形式化，本文将 Gross-Kuz'min 猜想的有效性从经典的阿贝尔情形扩展到了特定的非阿贝尔情形。此外，这项工作建立了非循环扩张中 Gross 缺陷非零性与 $p$-进对数代数独立性之间的具体联系，表明在标准的超越性假设下，该猜想是无条件成立的。研究结果还对 Gross 调节器的秩进行了定量精细化，表明在广泛的普遍情形下，其秩至少为所猜想秩的一半。