On the rank of Leopoldt's and Gross's regulator maps

技術要約：レップルトのおよびグロスのレギュレータ写像の階数について

問題提起
本論文は、イワサ理論および$p$進超越理論における二つの中心的な予想、すなわちレップルトの予想とグロス・クズミン予想を取り扱う。

• レップルトの予想： 数体$K$のグローバル単数から、$p$進局所単数の積への$p$進レギュレータ写像$\iota_K$が単射であることを提唱している。欠損（defect）を$\delta^L_K = \dim_{\mathbb{Q}_p} \ker \iota_K$とし、これがゼロになることが予想されている。
• グロス・クズミン予想： $p$単数から、局所ノルムの積における特定の超平面へのグロス・レギュレータ写像$L_K$が全射であることを提唱している。欠損を$\delta^G_K = \dim_{\mathbb{Q}_p} \operatorname{coker} L_K$とし、これがゼロになることが予想されている。
  これらの予想は、$\mathbb{Q}$のアーベル拡大や虚二次体については既知であるが、一般的な数体については未解決のままである。本論文は、これらの欠損の上界を確立し、特に非アーベル拡大や非巡回的$\mathbb{Z}_p$拡大において、これらの予想の新たな事例を証明することを目的としている。

手法
著者は、$p$進超越理論とアルティン形式（Artin formalism）の統合を用いている。

1. アルティン形式： 欠損$\delta^L_K$および$\delta^G_K$は、ガロア群の既約表現$\rho$に関連する同型成分へと分解される。本論文では、標準的なアルティンの性質（誘導、累上げ、および加法性）を満たす欠損不変量$\delta^L_k(\rho)$および$\delta^G_k(\rho)$を定義している。これにより、グローバルな問題を特定の$\mathbb{Q}$上の表現に関する問題へと還元することが可能となる。
2. $p$進超越理論： 中心的な解析的手法は、ウォルズキの定理、ロイの定理、および代数的数の$p$進対数に関するベイカー・ブルーマーの定理の適用である。具体的には、$\Lambda$（$p$進対数の$\mathbb{Q}$線形スパン）を係数に持つ行列の階数の下限を確立するために、ロイによるウォルズキの定理の鋭鋭化（定理2.2.1）を利用している。
3. ガロア・コホモロジーおよび類体論： 欠損は、ガロア・コホモロジーおよびポイトゥー・テイト双対定理を通じて再解釈される。グロスの欠損は、$p$単数と局所レシプロシティ写像を含む局所化写像の余核の次元として特定される。この枠組みは、非巡回的$\mathbb{Z}_p$拡大の解析を容易にする。

主要な貢献および結果

1. 欠損の一般化された上界
本論文は、レップルトの欠損に対するウォルズキの評価を一般化し、グロスの欠損に対しても並行する評価を確立している。

• 定理 1.4： 数体の拡大 $K/k$ に対して、欠損は以下を満たす：
  $$\delta^L_K \leq \delta^L_k + \frac{|S_\infty(K)| - |S_\infty(k)|}{2}$$
  $$\delta^G_K \leq \delta^G_k + \frac{|S_p(K)| - |S_p(k)|}{2}$$
  第二の不等式は、$K$が実無限複素数（real place）を持ち、$p$進素数の数が変化する場合に厳密となる。これは、グロス・クズミン予想がすべての三次数体に対して成立することを意味する。

2. 表現論的な評価（定理 1.5）
既約表現 $\rho \in \operatorname{Art}_{\mathbb{Q}_p}(G_{\mathbb{Q}})$ （不変量 $d = [K:\mathbb{Q}]$, $d_+ = |S_\infty(K)|$, $f = |S_p(K)|$）に対して、本論文は以下を証明している：

• $\delta^L_{\mathbb{Q}}(\rho) \leq \frac{d_+^2}{d + d_+}$
• $\delta^G_{\mathbb{Q}}(\rho) \leq \frac{f^2}{d_+ + 2f}$ （ただし $d_+, f$ が共にゼロでない場合）
  これらの評価は、局所ガロア表現に関する補題と、ロイの行列の階数に関する定理を用いて導出されている。

3. 予想への適用

• グロスのレギュレータの階数： 系 1.6 は、全実体 $k$ と全奇アーベル表現 $V$ に対して、グスの$p$進レギュレータ行列 $R_p(V)$ の階数がそのサイズの少なくとも半分であることを示している。これは、階数が正であることを示すグスの古典的な結果を強化するものである。
• グロス・クズミンの新たな事例： 系 1.7 および定理 4.3.2 は、以下のケースにおいてグロス・クズミン予想（すなわち $\delta^G_K = 0$）を証明している：
  • 虚二次体のアーベル拡大。
  • 少なくとも一つの実無限複素数を持つ実二次体のアーベル拡大。
  • $p$進素数の数に関する制約（例：実ガロア拡大において $|S_p(K)| \leq 6$）を伴うその他の様々なケース。

4. 非巡回的類似物および代数的独立性
本論文は、非巡回的$\mathbb{Z}_p$拡大における欠損の消滅を調査している。

• 定理 1.8： 虚二次体 $k$ と、$p$が完全分裂するアーベル拡大 $K$ に対して、$\delta^G_{K k_\infty/K} > 0$ となるような $k$ の$\mathbb{Z}_p$拡大 $k_\infty$ は高々有限個存在する。
• 条件付き非存在性： もし特定の多項式 $XY Z^2 - (AX - BY)(CX - DY)$ が、$p$進対数の空間における$\mathbb{Q}$-線形独立な7つ組の上で決して消えないならば（これは弱い$p$進シャヌエル予想によって示唆される条件である）、そのような$\mathbb{Z}_p$拡大は存在しない。
• 傾斜（Slope）解析： 本論文は、$\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{Q}_p)$上の線形部分空間上の点によって$\mathbb{Z}_p$拡大をパラメータ化している。もし欠損が非ゼロであれば、対応する拡大の「傾斜」は超越的でなければならないことを示している（定理 5.1.1）。

意義
本論文は、任意の数体に対するレップルトおよびグスの欠損に対する最良の既知の上界を提供し、ウォルズキの結果を一般化していると主張している。アルティン形式を活用することで、古典的なアーベルの場合を超えて、特定の非アーベルの設定へとグロス・クズミン予想の妥当性を拡張している。さらに、本研究は、非巡回的拡大におけるグスの欠損の非消滅と$p$進対数の代数的独立性との間の具体的な結びつきを確立しており、標準的な超越理論の仮定の下では、当該の予想が無条件に成立することを示唆している。また、これらの結果は、グスのレギュレータの階数に関する定量的な洗練を提供し、広範な一般性において、その階数が予想される階数の少なくとも半分であることを示している。