On the rank of Leopoldt's and Gross's regulator maps

Résumé technique : Sur le rang des applications régulateurs de Leopoldt et de Gross

Énoncé du problème
L'article traite de deux conjectures centrales en théorie d'Iwasawa et en théorie de la transcendance $p$-adique : la conjecture de Leopoldt et la conjecture de Gross-Kuz'min.

• Conjecture de Leopoldt : Postule que l'application régulateur $p$-adique $\iota_K$ des unités globales d'un corps de nombres $K$ vers le produit de ses unités locales aux places $p$-adiques est injective. Le défaut $\delta^L_K = \dim_{\mathbb{Q}_p} \ker \iota_K$ est conjecturé comme étant nul.
• Conjecture de Gross-Kuz'min : Postule que l'application régulateur de Gross $L_K$, associant les $p$-unités à un hyperplan spécifique du produit des normes locales, est surjective. Le défaut $\delta^G_K = \dim_{\mathbb{Q}_p} \operatorname{coker} L_K$ est conjecturé comme étant nul.
  Bien que ces conjectures soient connues pour les extensions abéliennes de $\mathbb{Q}$ ou de corps quadratiques imaginaires, et pour les corps possédant au plus deux primes $p$-adiques, elles restent ouvertes pour les corps de nombres généraux. L'article cherche à établir des bornes supérieures pour ces défauts et à prouver de nouveaux cas des conjectures, particulièrement pour les extensions non abéliennes et les extensions $\mathbb{Z}_p$ non cyclotomiques.

Méthodologie
L'auteur emploie une synthèse de la théorie de la transcendance $p$-adique et du formalisme d'Artin.

1. Formalisme d'Artin : Les défauts $\delta^L_K$ et $\delta^G_K$ sont décomposés en composantes isotypiques associées à des représentations irréductibles $\rho$ du groupe de Galois. L'article définit des invariants de défaut $\delta^L_k(\rho)$ et $\delta^G_k(\rho)$ qui satisfont les propriétés standards du formalisme d'Artin (induction, inflation et additivité). Cela permet de réduire les problèmes globaux à des questions sur des représentations spécifiques sur $\mathbb{Q}$.
2. Théorie de la transcendance $p$-adique : L'outil analytique central est l'application des théorèmes de Waldschmidt, Roy et du théorème de Baker-Brumer concernant l'indépendance linéaire des logarithmes $p$-adiques de nombres algébriques. Plus précisément, l'article utilise l'affinement par Roy du théorème de Waldschmidt (Théorème 2.2.1) pour établir des bornes inférieures sur le rang de matrices dont les coefficients appartiennent à l'espace engendré linéairement sur $\mathbb{Q}$ par les logarithmes $p$-adiques ($\Lambda$).
3. Cohomologie galoisienne et théorie de la classe de Hilbert : Les défauts sont réinterprétés via la cohomologie galoisienne et le théorème de dualité de Poitou-Tate. Le défaut de Gross est identifié à la dimension du cokernel d'une application de localisation impliquant les $p$-unités et les applications de réciprocité locales. Ce cadre facilite l'analyse des extensions $\mathbb{Z}_p$ non cyclotomiques.

Contributions clés et résultats

1. Bornes généralisées sur les défauts
L'article généralise la borne de Waldschmidt pour le défaut de Leopoldt et établit une borne parallèle pour le défaut de Gross.

• Théorème 1.4 : Pour une extension de corps de nombres $K/k$, les défauts satisfont :
  $$\delta^L_K \leq \delta^L_k + \frac{|S_\infty(K)| - |S_\infty(k)|}{2}$$
  $$\delta^G_K \leq \delta^G_k + \frac{|S_p(K)| - |S_p(k)|}{2}$$
  La seconde borne est stricte si $K$ possède une place réelle et que le nombre de primes $p$-adiques change. Cela implique que la conjecture de Gross-Kuz'min est vérifiée pour tous les corps cubiques.

2. Bornes de type représentation-théorique (Théorème lement 1.5)
Pour une représentation irréductible $\rho \in \operatorname{Art}_{\mathbb{Q}_p}(G_{\mathbb{Q}})$ avec les invariants $d = [K:\mathbb{Q}]$, $d_+ = |S_\infty(K)|$, et $f = |S_p(K)|$, l'article prouve :

• $\delta^L_{\mathbb{Q}}(\rho) \leq \frac{d_+^2}{d + d_+}$
• $\delta^G_{\mathbb{Q}}(\rho) \leq \frac{f^2}{d_+ + 2f}$ (à condition que $d_+, f$ ne soient pas tous deux nuls).
  Ces bornes sont dérivées d'un lemme sur les représentations galoisiennes locales et du théorème de Roy sur les rangs de matrices.

3. Applications aux conjectures

• Rang du régulateur de Gross : Le corollaire 1.6 démontre que pour un corps totalement réel $k$ et une représentation d'Artin totalement impaire $V$, la matrice du régulateur $p$-adique de Gross $R_p(V)$ a un rang d'au moins la moitié de sa taille. Cela renforce le résultat classique de Gross montrant que le rang est positif.
• Nouveaux cas de Gross-Kuz'min : Le corollaire 1.7 et le théorème 4.3.2 prouvent la conjecture de Gross-Kuz'min (c'est-à-dire $\delta^G_K = 0$) pour :
  • Les extensions abéliennes de corps quadratiques imaginaires.
  • Les extensions abéliennes de corps quadratiques réels possédant au moins une place réelle.
  • Divers autres cas impliquant des extensions de Galois avec des contraintes sur le nombre de primes $p$-adiques (par exemple, $|S_p(K)| \leq 6$ pour les extensions de Galois réelles).

4. Analogues non cyclotomiques et indépendance algébrique
L'article étudie la disparition du défaut pour les extensions $\mathbb{Z}_p$ non cyclotomiques.

• Théorème 1.8 : Pour un corps quadratique imaginaire $k$ et une extension abélienne $K$ où $p$ se scinde complètement, il existe au plus un nombre fini d'extensions $\mathbb{Z}_p$ ($k_\infty$) de $k$ pour lesquelles $\delta^G_{K k_\infty/K} > 0$.
• Non-existence conditionnelle : Si un polynôme spécifique $XY Z^2 - (AX - BY)(CX - DY)$ ne s'annule sur aucun 7-uplet linéairement indépendant sur $\mathbb{Q}$ dans l'espace des logarithmes $p$-adiques (une condition impliquée par la conjecture faible de Schanuel $p$-adique), alors aucune de ces extensions $\mathbb{Z}_p$ n'existe.
• Analyse de pente : L'article paramètre les extensions $\mathbb{Z}_p$ par des points sur un sous-espace linéaire de $\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{Q}_p)$. Il montre que si un défaut est non nul, la « pente » correspondante de l'extension doit être transcendante (Théorème 5.1.1).

Signification
L'article affirme fournir les meilleures bornes supérieures connues pour les défauts de Leopoldt et de Gross pour des corps de nombres arbitraires, généralisant ainsi les résultats précédents de Waldschmidt. En exploitant le formalisme d'Artin, il étend la validité de la conjecture de Gross-Kuz'min au-delà du cas abélien classique à des contextes non abéliens spécifiques. De plus, ce travail établit un lien concret entre la non-annulation du défaut de Gross pour les extensions non cyclotomiques et l'indépendance algébrique des logarithmes $p$-adiques, suggérant que la conjecture est vérifiée inconditionnellement sous les hypothèses de transcendance standards. Les résultats offrent également un raffinement quantitatif sur le rang du régulateur de Gross, montrant qu'il est au moins la moitié du rang conjecturé dans une large généralité.