On the rank of Leopoldt's and Gross's regulator maps

Resumen Técnico: Sobre el rango de los mapas reguladores de Leopoldt y Gross

Planteamiento del problema
El artículo aborda dos conjeturas centrales en la teoría de Iwasawa y la teoría de la trascendencia $p$-ádica: la conjetura de Leopoldt y la conjetura de Gross-Kuz'min.

• Conjetura de Leopoldt: Postula que el mapa regulador $p$-ádico $\iota_K$ desde las unidades globales de un cuerpo numérico $K$ hacia el producto de sus unidades locales en los lugares $p$-ádicos es inyectivo. El defecto $\delta^L_K = \dim_{\mathbb{Q}_p} \ker \iota_K$ se conjetura que es cero.
• Conjetura de Gross-Kuz'min: Postula que el mapa regulador de Gross $L_K$, que mapea las $p$-unidades a un hiperplano específico en el producto de las normas locales, es sobreyectivo. El defecto $\delta^G_K = \dim_{\mathbb{Q}_p} \operatorname{coker} L_K$ se conjetura que es cero.

Si bien estas conjeturas son conocidas para extensiones abelianas de $\mathbb{Q}$ o de cuerpos cuadráticos imaginarios, y para cuerpos con como máximo dos primos $p$-ádicos, siguen abiertas para cuerpos numéricos generales. El artículo busca establecer cotas superiores para estos defectos y probar nuevos casos de las conjeturas, particularmente para extensiones no abelianas y extensiones $\mathbb{Z}_p$ no ciclotómicas.

Metodología
El autor emplea una síntesis de la teoría de la trascendencia $p$-ádica y el formalismo de Artin.

1. Formalismo de Artin: Los defectos $\delta^L_K$ y $\delta^G_K$ se descomponen en componentes isotípicas asociadas a representaciones irreducibles $\rho$ del grupo de Galois. El artículo define los invariantes de defecto $\delta^L_k(\rho)$ y $\delta^G_k(\rho)$ que satisfacen las propiedades estándar del formalismo de Artin (inducción, inflación y aditividad). Esto permite la reducción de problemas globales a cuestiones sobre representaciones específicas sobre $\mathbb{Q}$.
2. Teoría de la trascendencia $p$-ádica: La herramienta analítica central es la aplicación de teoremas de Waldschmidt, Roy y el teorema de Baker-Brumer respecto a la independencia lineal de los logaritmos $p$-ádicos de números algebraicos. Específicamente, el artículo utiliza el refinamiento de Waldschmidt por parte de Roy (Teorema 2.2.1) para establecer cotas inferiores en el rango de matrices con coeficientes en el espacio generado linealmente sobre $\mathbb{Q}$ de los logaritmos $p$-ádicos ($\Lambda$).
3. Cohomología de Galois y Teoría de la Clase de Campo: Los defectos se reinterpretan mediante la cohomología de Galois y el teorema de dualidad de Poitou-Tate. El defecto de Gross se identifica con la dimensión del cociente de un mapa de localización que involucra $p$-unidades y mapas de reciprocidad locales. Este marco facilita el análisis de extensiones $\mathbb{Z}_p$ no ciclotómicas.

Contribuciones clave y resultados

1. Cotas generalizadas sobre los defectos
El artículo generaliza la cota de Waldschmidt para el defecto de Leopoldt y establece una cota paralela para el defecto de Gross.

• Teorema 1.4: Para una extensión de cuerpos numéricos $K/k$, los defectos satisfacen:
  $$\delta^L_K \leq \delta^L_k + \frac{|S_\infty(K)| - |S_\infty(k)|}{2}$$
  $$\delta^G_K \leq \delta^G_k + \frac{|S_p(K)| - |S_p(k)|}{2}$$
  La segunda cota es estricta si $K$ tiene un lugar real y el número de primos $p$-ádicos cambia. Esto implica que la conjetura de Gross-Kuz'min se cumple para todos los cuerpos cúbicos.

2. Cotas de representación teórica (Teorema 1.5)
Para una representación irreducible $\rho \in \operatorname{Art}_{\mathbb{Q}_p}(G_{\mathbb{Q}})$ con invariantes $d = [K:\mathbb{Q}]$, $d_+ = |S_\infty(K)|$, y $f = |S_p(K)|$, el artículo prueba:

• $\delta^L_{\mathbb{Q}}(\rho) \leq \frac{d_+^2}{d + d_+}$
• $\delta^G_{\mathbb{Q}}(\rho) \leq \frac{f^2}{d_+ + 2f}$ (siempre que $d_+, f$ no sean ambos cero).
  Estas cotas se derivan utilizando un lema sobre representaciones de Galois locales y el teorema de Roy sobre rangos de matrices.

3. Aplicaciones a las conjeturas

• Rango del regulador de Gross: El Corolario 1.6 demuestra que para un cuerpo totalmente real $k$ y una representación de Artin totalmente impar $V$, la matriz del regulador $p$-ádico de Gross $R_p(V)$ tiene un rango de al menos la mitad de su tamaño. Esto fortalece el resultado clásico de Gross de que el rango es positivo.
• Nuevos casos de Gross-Kuz'min: El Corolario 1.7 y el Teorema 4.3.2 prueban la conjetura de Gross-Kuz'min (es decir, $\delta^G_K = 0$) para:
  • Extensiones abelianas de cuerpos cuadráticos imaginarios.
  • Extensiones abelianas de cuerpos cuadráticos reales que tienen al menos un lugar real.
  • Varios otros casos que involucran extensiones de Galois con restricciones en el número de primos $p$-ádicos (por ejemplo, $|S_p(K)| \leq 6$ para extensiones de Galois reales).

4. Análogos no ciclotómicos y la independencia algebraica
El artículo investiga la desaparición del defecto para extensiones $\mathbb{Z}_p$ no ciclotómicas.

• Teorema 1.8: Para un cuerpo cuadrático imaginario $k$ y una extensión abeliana $K$ donde $p$ se descompone completamente, existen como máximo un número finito de extensiones $\mathbb{Z}_p$ de $k$ para las cuales $\delta^G_{K k_\infty/K} > 0$.
• No existencia condicional: Si un polinomio específico $XY Z^2 - (AX - BY)(CX - DY)$ no se anula en ningún 7-tupla $\mathbb{Q}$-linealmente independiente en el espacio de los logaritmos $p$-ádicos (una condición implicada por la conjetura débil de Schanuel $p$-ádica), entonces no existen tales extensiones $\mathbb{Z}_p$.
• Análisis de pendientes: El artículo parametriza las extensiones $\mathbb{Z}_p$ mediante puntos en un subespacio lineal de $\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{Q}_p)$. Muestra que si un defecto es no nulo, la "pendiente" correspondiente de la extensión debe ser trascendente (Teorema 5.1.1).

Significación
El artículo afirma proporcionar las mejores cotas conocidas para los defectos de Leopoldt y Gross para cuerpos numéricos arbitrarios, generalizando los resultados previos de Waldschmidt. Al aprovechar el formalismo de Artin, extiende la validez de la conjetura de Gross-Kuz'min más allá del caso abeliano clásico hacia configuraciones no abelianas específicas. Además, el trabajo establece un vínculo concreto entre la no anulación del defecto de Gross para extensiones no ciclotómicas y la independencia algebraica de los logaritmos $p$-ádicos, sugiriendo que la conjetura se cumple incondicionalmente bajo hipótesis de trascendencia estándar. Los resultados también ofrecen un refinamiento cuantitativo sobre el rango del regulador de Gross, mostrando que es al menos la mitad del rango conjeturado en una amplia generalidad.