Relative tensor products and Koszul duality in monoidal oo-categories

技术摘要：单子性 $\infty$-范畴中的相对张量积与 Koszul 对偶

问题陈述
本文探讨了单子性 $\infty$-范畴中相对张量积的基础理论及其在 Koszul 对偶中的应用。具体而言，其目标是将 Lurie 在 Higher Algebra [15] 中建立的 Koszul 对偶框架推广到包含模（modules）而不仅仅是代数（algebras）的情形。虽然 Lurie 的构造为增广代数与增广余代数之间提供了伴随关系，但要将这一框架扩展为（增广代数，模）对与（增广余代数，余模）对之间的伴随关系，需要对通过外部相对张量积作用于模的双模（bimodules）有深入且稳健的理解。

作者指出的一项核心技术障碍是：如何构造一个左作用，使得单子性 $\infty$-范畴的 $A$-$A$-双模作用在左 $A$-模的 $\infty$-范畴上。以往的文献（包括 [15]）通常假设单位对象是终对象（terminal），或者依赖于张量积与所有几何实现（geometric realizations）都相兼容的宽泛假设。作者旨在改进这些构造，以处理单位对象不是终对象的情况，以及将与实现的兼容性限制在特定的代数类（即“条形兼容”的代数，bar compatible）之中的情况。

方法论
作者采用了植根于 $\infty$-算子（$\infty$-operads）和双 $\infty$-范畴（double $\infty$-categories）理论的直接、构造性方法。其方法论通过以下几个阶段进行：

1. 细化双 $\infty$-范畴的双模构造：
   本文对 Lurie 的 Morita 双 $\infty$-范畴构造进行了细化。作者不再假设单子性范畴 $\mathcal{C}$ 具有所有与张量积相兼容的几何实现，而是将注意力转向一类被称为“条形兼容”的代数 $\mathcal{A}$。他们构造了一个双 $\infty$-范畴 $\text{BMod}_{\mathcal{A}}(\mathcal{C})^{\boxtimes}$，其在 $[n]$ 上的纤维由 $\mathcal{A}$-多模（$\mathcal{A}$-multimodules）组成。这使得在不需要全局存在实现的情况下，也能构造相对张量积。

2. 构造 LM-单子作用：
   一项关键的技术创新是构造了一个 LM-单子 $\infty$-范畴 $\text{BLMod}_{\mathcal{A}}(\mathcal{C})^{\otimes}$。该范畴见证了单子 $\infty$-范畴的 $A$-$A$-双模（$\text{BMod}_{A}^{A}(\mathcal{C})$）对左 $A$-模范畴（$\text{LMod}_{A}(\mathcal{C})$）的左作用。这是通过定义双 $\infty$-范畴中的水平态射 $\infty$-范畴，并构造水平自同态对这些态射的作用来实现的。该作用通过相对张量积 $N \otimes_A M$ 显式给出。

3. 推广至 BM-单子范畴：
   为了处理单位对象不是终对象的情况，作者在更一般的 BM-单子 $\infty$-范畴（两个可能不同的单子范畴之上的双模）框架下工作。他们构造了一个广义的 $\infty$-算子 $\text{Tens}^{\otimes}_{\vec{\nabla}}$，并利用它来定义“外部”相对张量积。这使得即使在 $\mathcal{C}$ 的单位对象不是终对象时，也能通过研究切片范畴 $\mathcal{C}_{/1}$ 来将扭转箭头范畴（twisted arrow category）$\text{TwErr}(\mathcal{C})$ 处理为 LM-单子范畴。

4. 通过可表示性实现 Koszul 对偶：
   Koszul 对偶构造的核心依赖于“左可表示配对”（left representable pairings）的概念。作者定义了一个 LM-单子配对 $\lambda$，并证明在特定假设下（存在条形构造实现、某些代数的平凡性以及全总化能力），诱导的模范畴上的配对是左可表示的。由此产生了一个对偶函子 $D_{\text{Ksz}}$。

主要贡献与结果

• 外部相对张量积： 本文通过外部相对张量积 $N \otimes_A M$，构造了 $A$-$A$-双模对左 $A$-模的作用。作者指出，在此工作之前，甚至连“内部”情形（$\mathcal{C} = \mathcal{M}$）在文献中似乎也是缺失的。
• 模的 Koszul 对偶： 主要结果（定理 9.4.3）确立了增广模 $\infty$-范畴 $\text{LMod}_{\text{aug}}(\mathcal{C})$ 与增广余模 $\infty$-范畴 $\text{coLMod}_{\text{aug}}(\mathcal{C})$ 之间的伴随关系。
  • 函子 $D_{\text{Ksz}}$ 将一对 $(A, X)$（一个增广代数和一个模）映射到一对 $(1 \otimes_A 1, 1 \otimes_A X)$。
  • 对象 $1 \otimes_A 1$ 是 Koszul 对偶余代数，而 $1 \otimes_A X$ 是对偶余模的底层对象。
• 放宽假设： 该构造通过以下方式推广了 Lurie 的结果：
  • 允许单位对象是非终对象（通过转向与切片 $\mathcal{C}_{/1}$ 相关的 LM-单子范畴）。
  • 要求张量积仅与特定类别的代数（条形兼容代数）相兼容，而非所有代数。
• 扭转箭头范畴的实现： 本文证明了只要底层范畴具备相应的实现，扭转箭头范畴 $\text{TwArr}(\mathcal{C})$ 就具备与张量积相兼容的条形构造实现。这验证了使用扭转箭头范畴作为 Koszul 对偶函数设置的有效性。

意义与主张

作者将这项工作定位为对 Lurie Higher Algebra [15] 的“半阐释性”扩展，专门解决了其中关于相对张量积及其在模上应用的“相当简略的叙述”。

• 概念清晰度： 本文声称为模的 Koszul 对偶提供了一个“连贯且在概念上令人满意”的图景。通过显式构造双模对模的作用，作者旨在消除从代数对偶升级到模对偶过程中的疑虑。
• 基础效用： 作者指出，他们在双 $\infty$-范畴中端同构范畴对态射范畴作用方面的基础性工作具有独立的学术价值。
• 对普遍性的谦逊态度： 作者承认，由于其“直接的方法”需要关于张量积与极限相兼容性的假设。他们注意到，Brantner–Campos–Nuiten [4] 的后续工作已经表明，通过一种更间接的方法，这些假设是不必要的。然而，作者坚持认为，对于特定的模情形，他们的直接构造提供了一个更清晰的概念框架，尽管其技术假设的普适性稍逊。
• 在动机论中的应用： 本文简要展示了这些结果在研究动机中的交换代数方面的潜在应用，特别是将增广代数的 Koszul 对偶与方案（scheme）的单连通基本群及路径托索尔（torsors of paths）联系起来。这被呈现为未来的研究方向，而非已完成的应用。

总而言之，本文为单子性 $\infty$-范畴中模的 Koszul 对偶提供了一个严谨、循序渐进的构造，填补了文献中关于双模与模之间相互作用的空白，并精炼了必要的数学假设，以适应非终对象单位的情形。