Relative tensor products and Koszul duality in monoidal oo-categories

Resumen Técnico: Productos Tensoriales Relativos y Dualidad de Koszul en $\infty$-Categorías Monoidales

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la teoría fundacional de los productos tensoriales relativos y su aplicación a la dualidad de Koszul dentro del entorno de las $\infty$-categorías monoidales. Específicamente, busca generalizar el marco de la dualidad de Koszul establecido por Lurie en Higher Algebra [15] para incluir módulos, no solo álgebras. Mientras que la construcción de Lurie proporciona una adjunción entre álgebras aumentadas y coalgebras aumentadas, extender esto a una adjunción entre pares de (álgebra aumentada, módulo) y (coalgebra aumentada, comodulo) requiere una comprensión robusta de cómo los bimodules actúan sobre los módulos mediante productos tensoriales externos relativos.

Un obstáculo técnico central identificado por los autores es la construcción de una acción a la izquierda de la $\infty$-categoría monoidal de $A$-$A$-bimodules sobre la $\infty$-categoría de módulos a la izquierda $A$. La literatura previa (incluyendo [15]) a menudo asumía que el objeto unidad era terminal o dependía de supuestos generalizados de que los productos tensoriales conmutaban con todas las realizaciones geométricas. Los autores pretenden refinar estas construcciones para manejar casos donde la unidad no es terminal y donde la compatibilidad con las realizaciones se restringe a clases específicas de álgebras (aquellas que son "bar compatibles").

Metodología
Los autores emplean un enfoque directo y constructivo basado en la teoría de $\infty$-operads y doble $\infty$-categorías. Su metodología procede a través de varias etapas:

1. Refinamiento de las Doble $\infty$-Categorías de Bimodules:
   El artículo refina la construcción de Lurie de la categoría doble de Morita. En lugar de asumir que la categoría monoidal $\mathcal{C}$ admite todas las realizaciones geométricas compatibles con el producto tensorial, los autores restringen la atención a una clase de álgebras $\mathcal{A}$ que son "bar compatibles". Construyen una doble $\infty$-categoría $\text{BMod}_{\mathcal{A}}(\mathcal{C})^{\boxtimes}$ cuyas fibras sobre $[n]$ consisten en $\mathcal{A}$-multimodules. Esto permite la construcción de productos tensoriales relativos sin requerir la existencia global de realizaciones.

2. Construcción de Acciones Monoidales LM:
   Una innovación técnica clave es la construcción de una $\infty$-categoría monoidal LM $\text{BLMod}_{\mathcal{A}}(\mathcal{C})^{\otimes}$. Esta categoría testimonia una acción a la izquierda de la $\infty$-categoría de $A$-$A$-bimodules ($\text{BMod}_{A}^{A}(\mathcal{C})$) sobre la $\infty$-categoría de módulos a la izquierda $A$ ($\text{LMod}_{A}(\mathcal{C})$). Esto se logra definiendo la $\infty$-categoría de morfismos horizontales en una doble $\infty$-categoría y construyendo una acción de los endomorfismos horizontales sobre estos morfismos. La acción viene dada explícitamente por el producto tensorial relativo $N \otimes_A M$.

3. Generalización a Categorías Monoidales BM:
   Para manejar casos donde el objeto unidad no es terminal, los autores trabajan dentro del marco más general de $\infty$-categorías monoidales BM (bimodules sobre dos categorías monoidales potencialmente diferentes). Construyen un $\infty$-operad generalizado $\text{Tens}^{\otimes}_{\vec{\nabla}}$ y utilizan este para definir productos tensoriales relativos "externos". Esto permite tratar la categoría de flechas torcidas $\text{TwArr}(\mathcal{C})$ como una categoría monoidal LM, incluso cuando la unidad de $\mathcal{C}$ no es terminal, trabajando con la categoría de rebanada (slice category) $\mathcal{C}_{/1}$.

4. Dualidad de Koszul vía Representabilidad:
   El núcleo de la construcción de la dualidad de Koszul reside en el concepto de "emparejamientos representables a la izquierda". Los autores definen un emparejamiento LM $\lambda$ y prueban que, bajo supuestos específicos (existencia de realizaciones de la construcción de bar, trivialidad de ciertos álgebras y capacidades de totalización), el emparejamiento inducido en las categorías de módulos es representable a la izquierda. Esto produce un functor de dualidad $D_{\text{Ksz}}$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Productos Tensoriales Relativos Externos: El artículo construye una acción de $A$-$A$-bimodules sobre módulos a la izquierda mediante un producto tensorial relativo externo $N \otimes_A M$. Los autores señalan que incluso el caso "interno" ($\mathcal{C} = \mathcal{M}$) parece haber estado ausente de la literatura antes de este trabajo.
• Dualidad de Koszul para Módulos: El resultado principal (Teorema 9.4.3) establece una adjunción entre la $\infty$-categoría de módulos aumentados $\text{LMod}_{\text{aug}}(\mathcal{C})$ y los comodulos aumentados $\text{coLMod}_{\text{aug}}(\mathcal{C})$.
  • El functor $D_{\text{Ksz}}$ mapea un par $(A, X)$ (un álgebra aumentada y un módulo) a un par $(1 \otimes_A 1, 1 \otimes_A X)$.
  • El objeto $1 \otimes_A 1$ es la coalgebra dual de Koszul, y $1 \otimes_A X$ es el objeto subyacente del comodulo dual.
• Relajación de Supuestos: La construcción generaliza los resultados de Lurie al:
  • Permitir que el objeto unidad sea no-terminal (pasando a la categoría monoidal LM asociada a la rebanada $\mathcal{C}_{/1}$).
  • Requerir la compatibilidad de los productos tensoriales con las realizaciones solo para una clase específica de álgebras (álgebras bar-compatibles) en lugar de para todos los álgebras.
• Realización de la Categoría de Flechas Torcidas: El artículo demuestra que la categoría de flechas torcidas $\text{TwArr}(\mathcal{C})$ admite realizaciones de construcciones de bar compatibles con el producto tensorial, siempre que la categoría subyacente lo haga. Esto valida el uso de la categoría de flechas torcidas como el entorno para el functor de dualidad de Koszul.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores posicionan este trabajo como una expansión "semi-expositiva" de la obra de Lurie Higher Algebra [15], abordando específicamente un "relato bastante condensado" de los productos tensoriales relativos y su aplicación a los módulos.

• Claridad Conceptual: El artículo afirma proporcionar una "imagen coherente y conceptualmente satisfactoria" de la dualidad de Koszul para módulos. Al construir la acción de los bimodules sobre los módulos de manera explícita, los autores pretenden desmitificar la actualización de la dualidad de álgebras a la dualidad de módulos.
• Utilidad Fundacional: Los autores afirman que su trabajo fundacional sobre la acción de las categorías de endomorfismos sobre las categorías de morfismos en doble $\infty$-categorías es de interés independiente.
• Modestia sobre la Generalidad: Los autores reconocen que su "enfoque directo" requiere supuestos respecto a la compatibilidad de los productos tensoriales con los límites. Señalan que trabajos posteriores de Brantner–Campos–Nuiten [4] han demostrado que estos supuestos son innecesarios en un enfoque más indirecto. Sin embargo, los autores mantienen que su construcción directa ofrece un marco conceptual más claro para el caso específico de los módulos, incluso si es menos general en sus supuestos técnicos.
• Aplicación a Motivos: El artículo ilustra brevemente la potencial aplicación de estos resultados al estudio de álgebras conmutativas en motivos, relacionando el dual de Koszul de un álgebra aumentada con el grupo fundamental unipotente y los torsores de caminos en un esquema. Esto se presenta como una dirección para trabajos futuros más que como una aplicación completada.

En resumen, el artículo proporciona una construcción rigurosa y paso a paso de la dualidad de Koszul para módulos en $\infty$-categorías monoidales, llenando un vacío en la literatura respecto a la interacción entre bimodules y módulos, y refinando los supuestos técnicos necesarios para acomodar objetos unidad no terminales.