Relative tensor products and Koszul duality in monoidal oo-categories

Resumo Técnico: Produtos Tensoriais Relativos e Dualidade de Koszul em $\infty$-Categorias Monoidais

Enunciado do Problema
O artigo aborda a teoria fundamental dos produtos tensoriais relativos e sua aplicação à dualidade de Koszul no contexto de $\infty$-categorias monoidais. Especificamente, busca-se generalizar o arcabouço da dualidade de Koszul estabelecido por Lurie em Higher Algebra [15] para incluir módulos, não apenas álgebras. Enquanto a construção de Lurie fornece uma adjunção entre álgebras aumentadas e coalgebras aumentadas, estender isso para uma adjunção entre pares de (álgebra aumentada, módulo) e (coalgebra aumentada, comodulo) requer uma compreensão robusta de como os bimodulos atuam sobre módulos via produtos tensoriais externos relativos.

Um obstáculo técnico central identificado pelos autores é a construção de uma ação à esquerda da $\infty$-categoria monoidal de $A$-$A$-bimodulos na $\infty$-categoria de módulos à esquerda de $A$. A literatura anterior (incluindo [15]) frequentemente assumia que o objeto unidade era terminal ou dependia de suposições genéricas de que os produtos tensoriais comutam com todas as realizações geométricas. Os autores visam refinar essas construções para lidar com casos onde a unidade não é terminal e onde a compatibilidade com realizações é restrita a classes específicas de álgebras (aquelas "bar-compatíveis").

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem direta e construtiva enraizada na teoria de $\infty$-operads e $\infty$-categorias duplas. Sua metodologia procede através de vários estágios:

1. Refinamento de $\infty$-Categorias Duplas de Bimodulos:
   O artigo refina a construção de Lurie da $\infty$-categoria dupla de Morita. Em vez de assumir que a categoria monoidal $\mathcal{C}$ admite todas as realizações geométricas compatíveis com o produto tensorial, os autores restringem a atenção a uma classe de álgebras $\mathcal{A}$ que são "bar-compatíveis". Eles constroem uma $\infty$-categoria dupla $\text{BMod}_{\mathcal{A}}(\mathcal{C})^{\boxtimes}$ cujas fibras sobre $[n]$ consistem em $\mathcal{A}$-multimodulos. Isso permite a construção de produtos tensoriais relativos sem exigir a existência global de realizações.

2. Construção de Ações Monoidais LM:
   Uma inovação técnica fundamental é a construção de uma $\infty$-categoria monoidal LM $\text{BLMod}_{\mathcal{A}}(\mathcal{C})^{\otimes}$. Esta categoria testemunha uma ação à esquerda da $\infty$-categoria de $A$-$A$-bimodulos ($\text{BMod}_{A}^{A}(\mathcal{C})$) na $\infty$-categoria de módulos à esquerda de $A$ ($\text{LMod}_{A}(\mathcal{C})$). Isso é alcançado definindo a $\infty$-categoria de morfismos horizontais em uma $\infty$-categoria dupla e construindo uma ação de endomorfismos horizontais sobre esses morfismos. A ação é explicitamente dada pelo produto tensorial relativo $N \otimes_A M$.

3. Generalização para Categorias Monoidais BM:
   Para lidar com casos onde o objeto unidade não é terminal, os autores trabalham dentro do arcabouço mais geral de $\infty$-categorias monoidais BM (bimodulos sobre duas categorias monoidais potencialmente diferentes). Eles constroem um $\infty$-operad generalizado $\text{Tens}^{\otimes}_{\vec{\nabla}}$ e usam-no para definir produtos tensoriais "externos" relativos. Isso permite tratar a categoria de setas torcidas $\text{TwArr}(\mathcal{C})$ como uma $\infty$-categoria LM, mesmo quando a unidade de $\mathcal{C}$ não é terminal, trabalhando com a categoria de fatiamento $\mathcal{C}_{/1}$.

4. Dualidade de Koszul via Representabilidade:
   O núcleo da construção da dualidade de Koszul reside no conceito de "pareamentos representáveis à esquerda". Os autores definem um pareamento LM $\lambda$ e provam que, sob suposições específicas (existência de realizações de construção de bar, trivialidade de certas álgebras e capacidades de totalização), o pareamento induzido nas categorias de módulos é representável à esquerda. Isso resulta em um funtor de dualidade $D_{\text{Ksz}}$.

Principidades e Resultados

• Produtos Tensoriais Relativos Externos: O artigo constrói uma ação de $A$-$A$-bimodulos sobre módulos à esquerda via um produto tensorial relativo externo $N \otimes_A M$. Os autores observam que mesmo o caso "interno" ($\mathcal{C} = \mathcal{M}$) parece ter estado ausente da literatura antes deste trabalho.
• Dualidade de Koszul para Módulos: O principal resultado (Teorema 9.4.3) estabelece uma adjunção entre a $\infty$-categoria de módulos aumentados $\text{LMod}_{\text{aug}}(\mathcal{C})$ e comodulos aumentados $\text{coLMod}_{\text{aug}}(\mathcal{C})$.
  • O funtor $D_{\text{Ksz}}$ mapeia um par $(A, X)$ (uma álgebra aumentada e um módulo) para um par $(1 \otimes_A 1, 1 \otimes_A X)$.
  • O objeto $1 \otimes_A 1$ é a coalgebra de Koszul dual, e $1 \otimes_A X$ é o objeto subjacente do comodulo dual.
• Relaxação de Suposições: A construção generaliza os resultados de Lurie ao:
  • Permitir que o objeto unidade seja não-terminal (ao passar para a $\infty$-categoria LM associada ao fatiamento $\mathcal{C}_{/1}$).
  • Exigir compatibilidade de produtos tensoriais com realizações apenas para uma classe específica de álgebras (álgebras bar-compatíveis) em vez de todas as álgebras.
• Realização da Categoria de Setas Torcidas: O artigo demonstra que a categoria de setas torcidas $\text{TwArr}(\mathcal{C})$ admite realizações de construções de bar compatíveis com o produto tensorial, desde que a categoria subjacente o faça. Isso valida o uso da categoria de setas torcidas como o cenário para o funtor de dualidade de Koszul.

Significância e Alegações
Os autores posicionam este trabalho como uma expansão "semi-expositiva" de Higher Algebra de Lurie [15], abordando especificamente o "relato bastante condensado" de produtos tensoriais relativos e sua aplicação a módulos.

• Clareza Conceitual: O artigo afirma fornecer uma "imagem coerente e conceitualmente satisfatória" da dualidade de Koszul para módulos. Ao construir explicitamente a ação de bimodulos sobre módulos, os autores visam desmistificar o upgrade da dualidade de álgebras para a dualidade de módulos.
• Utilidade Fundamental: Os autores afirmam que seu trabalho fundamental sobre a ação de categorias de endomorfismos em categorias de morfismos em $\infty$-categorias duplas é de interesse independente.
• Modéstia sobre a Generalidade: Os autores reconhecem que sua "abordagem direta" requer suposições relativas à compatibilidade de produtos tensoriais com limites. Eles observam que trabalhos subsequentes por Brantner–Campos–Nuiten [4] mostraram que essas suposições são desnecessárias em uma abordagem mais indireta. No entanto, os autores mantêm que sua construção direta oferece um arcabouço conceitual mais claro para o caso específico de módulos, mesmo sendo menos geral em suas suposições técnicas.
• Aplicação a Motivos: O artigo ilustra brevemente a potencial aplicação destes resultados ao estudo de álgebras comutativas em motivos, relacionando o dual de Koszul de uma álgebra aumentada ao grupo fundamental unipotente e torsores de caminhos em um esquema. Isto é apresentado como uma direção para trabalhos futuros, e não como uma aplicação completada.

Em resumo, o artigo fornece uma construção rigorosa, passo a passo, da dualidade de Koszul para módulos em $\infty$-categorias monoidais, preenchendo uma lacuna na literatura referente à interação entre bimodulos e módulos, e refinando as suposições técnicas necessárias para acomodar objetos unidade não-terminais.