Relative tensor products and Koszul duality in monoidal oo-categories

技術的要約：単元型 $\infty$-圏における相対的テンソル積とコッシュル双対性

問題設定
本論文は、相対的テンソル積の基礎理論と、単元型 $\infty$-圏におけるコッシュル双対性へのその応用について扱っている。具体的には、Lurieによる Higher Algebra [15] で確立されたコッシュル双対性の枠組みを、単なる代数（algebra）だけでなく、加群（module）まで含めて一般化することを目的としている。Lurieの構成は、増大代数（augmented algebra）と増大余代数（augmented coalgebra）の間の随伴を与えるものであるが、(増大代数, 加群) のペアと (増大代数, 余加群) のペアの間の随伴へと拡張するには、外部相対的テンソル積を介して双加群（bimodule）が加群にどのように作用するかについての強固な理解が必要となる。

著者らが特定した中心的な技術的障壁は、$A$-$A$ 双加群の単元型 $\infty$-圏から左 $A$-加群の $\infty$-圏への左作用の構成である。先行研究（[15] を含む）では、単位対象が終対象（terminal object）であることを想定しているか、あるいはテンソル積がすべての幾何学的実現（geometric realization）と可換であるという包括的な仮定に依存していることが多い。著者らは、単位対象が終対象ではない場合や、実現との可換性が「バー可換（bar compatible）」な特定のクラスの代数に限定される場合に備えて、これらの構成を洗練させることを目指している。

手法
著者らは、$\infty$-オペラドおよび二重 $\infty$-圏の理論に根ざした、直接的かつ構成的なアプローチを採用している。彼らの手法は以下の段階を経て進行する：

1. 双加群の二重 $\infty$-圏の洗練：
   本論文は、Lurieによるモリタ二重 $\infty$-圏の構成を洗練させている。単元型圏 $\mathcal{C}$ がテンソル積と可換なすべての幾何学的実現を持つことを仮定する代わりに、著者らは「バー可換」な代数のクラス $\mathcal{A}$ に注意を向けている。これにより、実現の全域的な存在を要求することなく、相対的テンソル積を構成するための、ファイバー $[n]$ 上に $\mathcal{A}$-多加群（$\mathcal{A}$-multimodules）を持つ二重 $\infty$-圏 $\text{BMod}_{\mathcal{A}}(\mathcal{C})^{\boxtimes}$ を構成している。

2. LM-単元型作用の構成：
   主要な技術的革新は、LM-単元型 $\infty$-圏 $\text{BLMod}_{\mathcal{A}}(\mathcal{C})^{\otimes}$ の構成である。この圏は、$A$-$A$ 双加群の単元型 $\infty$-圏 ($\text{BMod}_{A}^{A}(\mathcal{C})$) による左 $A$-加群の $\infty$-圏 ($\text{LMod}_{A}(\mathcal{C})$) への左作用を証跡するものである。これは、二重 $\infty$-圏における水平射（horizontal morphisms）の $\infty$-圏を定義し、水平自己準同型（horizontal endomorphisms）の作用をそれらの射に対して構成することによって達成される。この作用は、相対的テンソル積 $N \otimes_A M$ によって明示的に与えられる。

3. BM-単元型圏への一般化：
   単位対象が終対象ではない場合を扱うために、著者らは、より一般的な BM-単元型 $\infty$-圏（二つの異なる単元型圏上の双加群）の枠組みの中で作業を進める。彼らは、一般化された $\infty$-オペラド $\text{Tens}^{\otimes}_{\vec{\nabla}}$ を構築し、それを用いて「外部」相対的テンソル積を定義する。これにより、単位対象が終対象でない場合でも、スライス圏 $\mathcal{C}_{/1}$ を用いることで、ねじれ矢印圏（twisted arrow category） $\text{TwArr}(\mathcal{C})$ を LM-単元型圏として扱うことが可能になる。

4. 表現可能性を介したコッシュル双対性：
   コッシュル双対性の構成の核心は、「左表現可能なペアリング（left representable pairings）」の概念に依存している。著者らは LM-単元型ペアリング $\lambda$ を定義し、特定の仮定（バー構成の実現の存在、特定の代数の自明性、および全化（totalization）能力）の下で、誘導された加群のペアリングが左表現可能であることを証明している。これにより、双対関手 $D_{\text{Ksz}}$ が得られる。

主要な貢献と結果

• 外部相対的テンソル積： 本論文は、外部相対的テンソル積 $N \otimes_A M$ を通じて、$A$-$A$ 双加群の左 $A$-加群への作用を構成している。著者らは、これ以前の文献には「内部」の場合（$\mathcal{C} = \mathcal{M}$）さえも欠落していた可能性があると指摘している。
• 加群のコッシュル双対性： 主要な結果（定理 9.4.3）は、増大加群の $\infty$-圏 $\text{LMod}_{\text{aug}}(\mathcal{C})$ と増大余加群の $\infty$-圏 $\text{coLMod}_{\text{aug}}(\mathcal{C})$ の間の随伴を確立している。
  • 関手 $D_{\text{Ksz}}$ は、ペア $(A, X)$ （増大代数とその加群）を、ペア $(1 \otimes_A 1, 1 \otimes_A X)$ へと写す。
  • 対象 $1 \otimes_A 1$ はコッシュル双対余代数であり、$1 \otimes_A X$ は双対余加群の基礎となる対象である。
• 仮定の緩和： 著者らの構成は、以下の点においてLurieの結果を一般化している：
  • 単位対象が終対象でないことを許容している（スライス $\mathcal{C}_{/1}$ に付随する LM-単元型圏へ移行することで）。
  • テンソル積と実現との可換性を、すべての代数ではなく、特定のクラス（バー可換な代数）に対してのみ要求している。
• ねじれ矢印圏の実現： 本論文は、基礎となる圏が可換であれば、ねじれ矢印圏 $\text{TwArr}(\mathcal{C})$ もテンソル積と可換なバー構成の実現を持つことを示している。これは、コッシュル双対関手の設定としてねじれ矢印圏を用いることの妥当性を検証するものである。

意義と主張

著者らは、本研究を、相対的テンソル積とその加群への応用に関する「かなり凝縮された記述」に対処する、Lurieの Higher Algebra [15] に対する「半・解説的（semi-expository）」な拡張として位置づけている。

• 概念的明晰さ： 本論文は、加群のコッシュル双対性に対して「一貫性があり、概念的に満足のいく図式」を提供すると主張している。双加群の加群への作用を明示的に構成することで、著者らは、代数の双対性から加群の双対性へのアップグレードを解明することを目指している。
• 基礎的有用性： 著者らは、二重 $\infty$-圏における自己準同型圏の射の圏に関する基礎的な研究が、独立した関心事であることを述べている。
• 一般性に関する謙虚な姿勢： 著者らは、彼らの「直接的なアプローチ」が、テンソル積と極限との可換性に関する仮定を必要とすることを認めている。Brantner–Campos–Nuiten [4] による後続の研究が、より間接的なアプローチによってこれらの仮定は不要であることを示したことに触れつつも、著者らは、彼らの直接的な構成が、たとえ技術的な仮定においては一般的でないとしても、加群の特定のケースに対してより明確な概念的枠組みを提供できると考えている。
• モチーフへの応用： 本論文は、モチーフにおける可換代数の研究への潜在的な応用を簡潔に示しており、特に増大代数のコッシュル双対物と、スキームのパスのトーソルおよび非自明な基本群との関連性に触れている。これは、完了した応用というよりも、将来の研究の方向性として提示されている。

総括すると、本論文は、単元型 $\infty$-圏における加群のコッシュル双対性に関する厳密かつステップ・バイ・ステップの構成を提供し、双加群と加群の相互作用に関する文献の空白を埋め、非終対象の単位対象を扱うための必要な技術的仮定を洗練させている。