Non-existence of Shimura curves of Mumford type generically in the non-hyperelliptic locus

技术摘要：非双曲椭圆曲线轨迹中一般不存在穆福德型西莫拉曲线

问题陈述
本文探讨了西莫拉曲线与代数曲线托里利（Torelli）轨迹的交集。具体而言，它研究了“穆福德型”西莫拉曲线（一类非 PEL 型的霍奇型西莫拉曲线）是否一般性地包含在非双曲椭圆曲线的托里利轨迹中。

作者聚焦于 Oort 提出的关于亏格 $g=4$ 的问题：是否存在一般性地包含在托里利轨迹 $T_4$ 中的穆福德型西莫拉曲线？更一般地，本文旨在确定对于任何亏格 $g \ge 4$，在非双曲椭圆曲线轨迹中是否存在此类曲线。这一探究置于 Coleman-Oort 猜想的更广泛背景之下，该猜想预测对于足够大的 $g$，在托里利轨迹中一般不存在正维数的特殊子簇（西莫拉曲线）。

方法论
证明依赖于霍奇理论、半稳定曲线族几何以及斜率不等式的结合。方法论通过以下步骤进行：

1. 通过希格斯丛的刻画：作者利用了 Viehweg 和 Zuo 建立的西莫拉曲线刻画。曲线 $C_0 \subseteq \mathcal{A}_g$ 是穆福德型西莫拉曲线，当且仅当相关的对数希格斯丛 admits 一个严格最大希格斯场。该条件等价于霍奇丛的度数满足 Arakelov 等式：$\deg E^{1,0}_C = \frac{g}{2} \deg \Omega^1_C(\log \Delta_C)$。

2. 提升到半稳定族：对于一般性地包含在托里利轨迹中的西莫拉曲线 $C_0$，作者通过托里利态射构造了一个代表 $C_0$ 的半稳定曲线族 $f: S \to B$。

   • 如果 $C_0$ 不包含在双曲椭圆曲线轨迹中，则从曲线在曲线模空间中原像的正规化到曲线本身的映射，要么是同构，要么是双叶覆盖。
   • 映射为同构的情况已被先前结果（LZ19）排除。因此，分析集中在映射 $\pi: B \to C$ 为具有分歧集 $\Lambda$ 的双叶覆盖的情况。

3. 斜率不等式推导：核心技术贡献涉及为族 $f: S \to B$ 推导一个改进的斜率不等式。

   • 作者构造了一个特定的无分歧基变换 $\psi: \tilde{B} \to B$，该变换提升了与双叶覆盖相关的对合以及奇异纤维上的双曲椭圆对合。
   • 通过分析该族在这些对合下的商，他们推导出了自交数 $\omega^2_{S/B}$ 的下界（定理 3.1）。该下界包含依赖于分歧集 $\Lambda$ 以及奇异纤维几何（特别是特定亏格的不可约分量数量）的项。

4. 通过上界导出矛盾：作者将推导出的 $\omega^2_{S/B}$ 下界与他们先前工作（LZ19，定理 4.3）中建立的上界进行比较。

   • 上界取决于霍奇丛的度数和奇异纤维的构型。
   • 通过将严格最大希格斯场条件（该条件固定了霍奇丛相对于底空间的度数）与斜率不等式相结合，作者推导出了一个涉及特定类型奇异纤维数量（$\Delta_{ct,b}$）的不等式。

主要结果

• 定理 1.2：不存在一般性地包含在亏格 $g=4$ 的非双曲椭圆曲线托里利轨迹中的穆福德型西莫拉曲线。
• 定理 1.4：对于任何亏格 $g \ge 4$，不存在一般性地包含在非双曲椭圆曲线托里利轨迹中的具有严格最大希格斯场的西莫拉曲线。
• 推论 1.5：如果 $g > 4$，则没有具有严格最大希格斯场的西莫拉曲线一般性地包含在托里利轨迹 $T_g$ 中。

定理 1.4 的证明采用反证法。假设存在这样的曲线会导致如下形式的不等式：
$$\frac{7-g}{6} |\Delta_{ct,b}| > \deg f^*\omega_{S/B} \ge \frac{(g-1)^2}{2g+1} |\Delta_{ct,b}|$$
对于 $g \ge 4$，左侧的系数变为非正数或不足以相对于右侧的正下界满足该不等式，从而导出矛盾。

意义与主张
本文声称通过证明非双曲椭圆曲线轨迹中不存在此类曲线，解决了 Oort 提出的关于亏格 4 的问题 1.1。此外，它将这一结果推广到所有亏格 $g \ge 4$。

其意义在于：

• 先前工作的扩展：作者先前证明了对于 $g \ge 8$，此类曲线在双曲椭圆轨迹中不存在（LZ17），并建立了超椭圆曲线的有限性结果（CLZ21）。本文将不存在性结果扩展到了所有 $g \ge 4$ 的非双曲椭圆轨迹。
• 对 Coleman-Oort 猜想的支持：这些结果为 Coleman-Oort 猜想提供了强有力的证据，具体排除了在 $g \ge 4$ 的非双曲椭圆托里利轨迹中潜在反例（穆福德型西莫拉曲线）的一个主要类别。
• 方法论的完善：本文引入了一种改进的斜率不等式（定理 3.1），该不等式考虑了代表穆福德型西莫拉曲线的族的特定几何结构，特别是处理了双叶覆盖的分歧以及奇异纤维的结构。

作者并未声称解决所有特殊子簇或所有亏格的完整 Coleman-Oort 猜想，而是确立了非双曲椭圆轨迹中穆福德型西莫拉曲线这一特定类别的明确否定结果。