Non-existence of Shimura curves of Mumford type generically in the non-hyperelliptic locus

Resumen Técnico: No Existencia de Curvas de Shimura de Tipo Mumford Genéricamente en el Locus No Hiperelíptico

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la intersección de las curvas de Shimura con el locus de Torelli de curvas algebraicas. Específicamente, investiga la existencia de curvas de Shimura de "tipo Mumford" (una clase específica de curvas de Shimura de tipo Hodge que no son de tipo PEL) que estén contenidas genéricamente en el locus de Torelli de curvas no hiperelípticas.

Los autores se centran en la pregunta formulada por Oort para el género $g=4$: ¿Existe alguna curva de Shimura de tipo Mumford contenida genéricamente en el locus de Torelli $T_4$? Más generalmente, el artículo busca determinar si tales curvas existen para cualquier género $g \ge 4$ dentro del locus no hiperelíptico. Esta indagación se sitúa dentro del contexto más amplio de la conjetura de Coleman-Oort, la cual predice que, para $g$ suficientemente grande, no existen subvariedades especiales de dimensión positiva (curvas de Shimura) contenidas genéricamente en el locus de Torelli.

Metodología
La demostración se basa en una combinación de la teoría de Hodge, la geometría de familias semiestables de curvas y desigualdades de pendiente. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Caracterización mediante Fibrados de Higgs: Los autores utilizan la caracterización de las curvas de Shimura establecida por Viehweg y Zuo. Una curva $C_0 \subseteq \mathcal{A}_g$ es una curva de Shimura de tipo Mumford si y solo si el fibrado de Higgs logarítmico asociado admite un campo de Higgs estrictamente máximo. Esta condición es equivalente a que se cumpla la igualdad de Arakelov para el grado del fibrado de Hodge: $\deg E^{1,0}_C = \frac{g}{2} \deg \Omega^1_C(\log \Delta_C)$.

2. Levantamiento a Familias Semiestables: Para una curva de Shimura $C_0$ contenida genéricamente en el locus de Torelli, los autores construyen una familia de curvas semiestables $f: S \to B$ que representa $C_0$ mediante el morfismo de Torelli.

   • Si $C_0$ no está contenida en el locus hiperelíptico, la aplicación desde la normalización de la imagen inversa de la curva en el espacio de módulos de curvas hacia la curva misma es ya sea un isomorfismo o una cubierta doble.
   • El caso en que la aplicación es un isomorfismo queda descartado por resultados previos (LZ19). Por lo tanto, el análisis se centra en el caso en que la aplicación $\pi: B \to C$ es una cubierta doble con un lugar de ramificación $\Lambda$.

3. Derivación de la Desigualdad de Pendiente: La contribución técnica central implica derivar una desigualdad de pendiente refinada para la familia $f: S \to B$.

   • Los autores construyen un cambio de base no ramificado específico $\psi: \tilde{B} \to B$ que levanta las involuciones asociadas a la cubierta doble y a la involución hiperelíptica en las fibras singulares.
   • Mediante el análisis del cociente de la familia por estas involuciones, derivan una cota inferior para el número de auto-intersección $\omega^2_{S/B}$ (Teorema 3.1). Esta cota incluye términos dependientes del lugar de ramificación $\Lambda$ y de la geometría de las fibras singulares (específicamente el número de componentes irreducibles de géneros específicos).

4. Contradicción mediante Cotas Superiores: Los autores comparan la cota inferior derivada para $\omega^2_{S/B}$ con una cota superior existente establecida en su trabajo previo (LZ19, Teorema 4.3).

   • La cota superior depende del grado del fibrado de Hodge y de la configuración de las fibras singulares.
   • Al combinar la condición de campo de Higgs estrictamente máximo (que fija el grado del fibrado de Hodge relativo a la base) con las desigualdades de pendiente, los autores derivan una desigualdad que involucra el número de tipos específicos de fibras singulares ($\Delta_{ct,b}$).

Resultados Clave

• Teorema 1.2: No existe ninguna curva de Shimura de tipo Mumford contenida genéricamente en el locus de Torelli de curvas no hiperelípticas de género $g=4$.
• Teorema 1.4: No existe ninguna curva de Shimura con un campo de Higgs estrictamente máximo contenida genéricamente en el locus de Torelli de curvas no hiperelípticas para cualquier género $g \ge 4$.
• Corolario 1.5: Si $g > 4$, ninguna curva de Shimura con un campo de Higgs estrictamente máximo está contenida genéricamente en el locus de Torelli $T_g$.

La demostración del Teorema 1.4 procede por contradicción. Asumir la existencia de tal curva conduce a una desigualdad de la forma:
$$\frac{7-g}{6} |\Delta_{ct,b}| > \deg f^*\omega_{S/B} \ge \frac{(g-1)^2}{2g+1} |\Delta_{ct,b}|$$
Para $g \ge 4$, el coeficiente a la izquierda se vuelve no positivo o insuficiente para satisfacer la desigualdad frente a la cota inferior positiva a la derecha, lo que genera una contradicción.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma resolver la Pregunta 1.1 planteada por Oort respecto al género 4, demostrando la no existencia de tales curvas en el locus no hiperelíptico. Además, generaliza este resultado a todos los géneros $g \ge 4$.

El significado radica en lo siguiente:

• Extensión del Trabajo Previo: Los autores demostraron previamente la no existencia de tales curvas en el locus hiperelíptico para $g \ge 8$ (LZ17) y establecieron resultados de finitud para curvas superelípticas (CLZ21). Este artículo extiende el resultado de no existencia al locus no hiperelíptico para todos los $g \ge 4$.
• Apoyo a la Conjetura de Coleman-Oort: Los resultados proporcionan una fuerte evidencia para la conjetura de Coleman-Oort, descartando específicamente una clase importante de posibles contraejemplos (curvas de Shimura de tipo Mumford) en el locus de Torelli no hiperelíptico para todos los $g \ge 4$.
• Refinamiento Metodológico: El artículo introduce una desigualdad de pendiente refinada (Teorema 3.1) que tiene en cuenta la geometría específica de las familias que representan curvas de Shimura de tipo Mumford, manejando particularmente la ramificación de la cubierta doble y la estructura de las fibras singulares.

Los autores no afirman resolver la conjetura completa de Coleman-Oort para todas las subvariedades especiales o todos los géneros, sino que establecen un resultado negativo definitivo para la clase específica de curvas de Shimura de tipo Mumford en el locus no hiperelíptico.