Non-existence of Shimura curves of Mumford type generically in the non-hyperelliptic locus

Technische Samenvatting: Niet-bestaan van Shimura-curves van Mumford-type generiek in de niet-hyperelliptische locatie

Probleemstelling
Het artikel behandelt de doorsnede van Shimura-curves met de Torelli-locus van algebraïsche krommen. Specifiek onderzoekt het het bestaan van Shimura-curves van "Mumford-type" (een specifieke klasse van Shimura-curves van Hodge-type die niet van PEL-type zijn) die generiek in de Torelli-locus van niet-hyperelliptische krommen zijn opgenomen.

De auteurs richten zich op de vraag die door Oort is gesteld voor genus $g=4$: bestaat er een Shimura-curve van Mumford-type die generiek in de Torelli-locus $T_4$ is opgenomen? Meer algemeen tracht het artikel te bepalen of dergelijke krommen bestaan voor elk genus $g \ge 4$ binnen de niet-hyperelliptische locatie. Deze vraagstelling is geplaatst in de bredere context van de Coleman-Oort-vermoeden, dat voorspelt dat voor voldoende grote $g$ geen positief-dimensionale speciale deelvariëteiten (Shimura-curves) generiek in de Torelli-locus bestaan.

Methodologie
Het bewijs steunt op een combinatie van Hodge-theorie, de meetkunde van semi-stabiele families van krommen en hellingongelijkheden. De methodologie verloopt via de volgende stappen:

1. Karakterisering via Higgs-bundels: De auteurs maken gebruik van de karakterisering van Shimura-curves die is vastgesteld door Viehweg en Zuo. Een kromme $C_0 \subseteq \mathcal{A}_g$ is een Shimura-curve van Mumford-type dan en slechts dan als de bijbehorende logaritmische Higgs-bundel een strikt maximaal Higgs-veld toestaat. Deze voorwaarde is equivalent aan het gelden van de Arakelov-gelijkheid voor de graad van de Hodge-bundel: $\deg E^{1,0}_C = \frac{g}{2} \deg \Omega^1_C(\log \Delta_C)$.

2. Liften naar semi-stabiele families: Voor een Shimura-curve $C_0$ die generiek in de Torelli-locus is opgenomen, construeren de auteurs een familie van semi-stabiele krommen $f: S \to B$ die $C_0$ via de Torelli-morfisme representeert.

   • Als $C_0$ niet in de hyperelliptische locatie is opgenomen, is de afbeelding van de normalisatie van de inverse afbeelding van de kromme in de moduli-ruimte van krommen naar de kromme zelf óf een isomorfisme óf een tweevoudige overdekking.
   • Het geval waarin de afbeelding een isomorfisme is, wordt uitgesloten door eerdere resultaten (LZ19). Derhalve richt de analyse zich op het geval waarin de afbeelding $\pi: B \to C$ een tweevoudige overdekking is met een vertakkingslocus $\Lambda$.

3. Afstammen van hellingongelijkheden: De kern technische bijdrage bestaat uit het afstammen van een verfijnde hellingongelijkheid voor de familie $f: S \to B$.

   • De auteurs construeren een specifieke onvertakte basisverandering $\psi: \tilde{B} \to B$ die de involuties liften die geassocieerd zijn met de tweevoudige overdekking en de hyperelliptische involutie op singuliere vezels.
   • Door de quotiënt van de familie door deze involuties te analyseren, leiden ze een ondergrens af voor het zelfdoorsnedegetal $\omega^2_{S/B}$ (Stelling 3.1). Deze grens bevat termen die afhankelijk zijn van de vertakkingslocus $\Lambda$ en de meetkunde van de singuliere vezels (specifiek het aantal irreducibele componenten van specifieke genera).

4. Tegenstrijdigheid via bovengrenzen: De auteurs vergelijken de afgeleide ondergrens voor $\omega^2_{S/B}$ met een bestaande bovengrens die in hun eerdere werk is vastgesteld (LZ19, Stelling 4.3).

   • De bovengrens hangt af van de graad van de Hodge-bundel en de configuratie van singuliere vezels.
   • Door de voorwaarde van het strikt maximale Higgs-veld (die de graad van de Hodge-bundel relatief tot de basis vastlegt) te combineren met de hellingongelijkheden, leiden de auteurs een ongelijkheid af die het aantal specifieke typen singuliere vezels ($\Delta_{ct,b}$) betreft.

Belangrijkste Resultaten

• Stelling 1.2: Er bestaat geen Shimura-curve van Mumford-type die generiek in de Torelli-locus van niet-hyperelliptische krommen van genus $g=4$ is opgenomen.
• Stelling 1.4: Er bestaat geen Shimura-curve met een strikt maximaal Higgs-veld generiek in de Torelli-locus van niet-hyperelliptische krommen voor enig genus $g \ge 4$.
• Corollarium 1.5: Als $g > 4$, dan is geen Shimura-curve met een strikt maximaal Higgs-veld generiek in de Torelli-locus $T_g$ opgenomen.

Het bewijs van Stelling 1.4 verloopt via contradictie. Het aannemen van het bestaan van een dergelijke kromme leidt tot een ongelijkheid van de vorm:
$$\frac{7-g}{6} |\Delta_{ct,b}| > \deg f^*\omega_{S/B} \ge \frac{(g-1)^2}{2g+1} |\Delta_{ct,b}|$$
Voor $g \ge 4$ wordt de coëfficiënt aan de linkerkant niet-positief of onvoldoende om aan de ongelijkheid te voldoen tegen de positieve ondergrens aan de rechterkant, wat een tegenstrijdigheid oplevert.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt Vraag 1.1 die door Oort is gesteld voor genus 4 op te lossen door het niet-bestaan van dergelijke krommen in de niet-hyperelliptische locatie te bewijzen. Bovendien generaliseert het dit resultaat tot alle genera $g \ge 4$.

De betekenis ligt in het volgende:

• Uitbreiding van Eerdere Werk: De auteurs hebben eerder het niet-bestaan van dergelijke krommen in de hyperelliptische locatie bewezen voor $g \ge 8$ (LZ17) en eindigheidsresultaten gevestigd voor superelliptische krommen (CLZ21). Dit artikel breidt het niet-bestaanresultaat uit naar de niet-hyperelliptische locatie voor alle $g \ge 4$.
• Ondersteuning voor Coleman-Oort-vermoeden: De resultaten bieden sterke bewijzen voor het Coleman-Oort-vermoeden, en sluiten specifiek een grote klasse van potentiële tegenvoorbeelden (Shimura-curves van Mumford-type) uit in de niet-hyperelliptische Torelli-locus voor alle $g \ge 4$.
• Methodologische Verfijning: Het artikel introduceert een verfijnde hellingongelijkheid (Stelling 3.1) die rekening houdt met de specifieke meetkunde van families die Shimura-curves van Mumford-type representeren, met name de behandeling van de vertakking van de tweevoudige overdekking en de structuur van singuliere vezels.

De auteurs claimen niet het volledige Coleman-Oort-vermoeden voor alle speciale deelvariëteiten of alle genera op te lossen, maar vestigen wel een definitief negatief resultaat voor de specifieke klasse van Shimura-curves van Mumford-type in de niet-hyperelliptische locatie.