Non-existence of Shimura curves of Mumford type generically in the non-hyperelliptic locus

Resumo Técnico: Não Existência de Curvas de Shimura do Tipo Mumford Genericamente no Lugar Não-Hiperelíptico

Enunciado do Problema
O artigo aborda a interseção entre curvas de Shimura e o lugar de Torelli de curvas algébricas. Especificamente, investiga a existência de curvas de Shimura do "tipo Mumford" (uma classe específica de curvas de Shimura de tipo de Hodge que não são de tipo PEL) que estejam contidas genericamente no lugar de Torelli de curvas não-hiperelípticas.

Os autores concentram-se na questão formulada por Oort sobre o gênero $g=4$: Existe alguma curva de Shimura do tipo Mumford contida genericamente no lugar de Torelli $T_4$? Mais geralmente, o artigo busca determinar se tais curvas existem para qualquer gênero $g \ge 4$ dentro do lugar não-hiperelíptico. Esta investigação situa-se no contexto mais amplo da conjectura de Coleman-Oort, que prevê que, para $g$ suficientemente grande, não existem subvariedades especiais de dimensão positiva (curvas de Shimura) contidas genericamente no lugar de Torelli.

Metodologia
A prova baseia-se numa combinação da teoria de Hodge, da geometria de famílias semiestáveis de curvas e de desigualdades de inclinação. A metodologia prossegue através dos seguintes passos:

1. Caracterização via Fibrados de Higgs: Os autores utilizam a caracterização de curvas de Shimura estabelecida por Viehweg e Zuo. Uma curva $C_0 \subseteq \mathcal{A}_g$ é uma curva de Shimura do tipo Mumford se e somente se o fibrado de Higgs logarítmico associado admitir um campo de Higgs estritamente máximo. Esta condição é equivalente à igualdade de Arakelov valer para o grau do fibrado de Hodge: $\deg E^{1,0}_C = \frac{g}{2} \deg \Omega^1_C(\log \Delta_C)$.

2. Levantamento para Famílias Semiestáveis: Para uma curva de Shimura $C_0$ contida genericamente no lugar de Torelli, os autores constroem uma família de curvas semiestáveis $f: S \to B$ representando $C_0$ via a morfismo de Torelli.

   • Se $C_0$ não estiver contida no lugar hiperelíptico, o mapa da normalização da imagem inversa da curva no espaço de módulos de curvas para a própria curva é ou um isomorfismo ou uma cobertura dupla.
   • O caso em que o mapa é um isomorfismo é excluído por resultados anteriores (LZ19). Assim, a análise foca no caso em que o mapa $\pi: B \to C$ é uma cobertura dupla com um lugar de ramificação $\Lambda$.

3. Derivação da Desigualdade de Inclinação: A contribuição técnica central envolve a derivação de uma desigualdade de inclinação refinada para a família $f: S \to B$.

   • Os autores constroem uma mudança de base não ramificada específica $\psi: \tilde{B} \to B$ que levanta as involuções associadas à cobertura dupla e à involução hiperelíptica nas fibras singulares.
   • Ao analisar o quociente da família por estas involuções, derivam um limite inferior para o número de auto-interseção $\omega^2_{S/B}$ (Teorema 3.1). Este limite inclui termos dependentes do lugar de ramificação $\Lambda$ e da geometria das fibras singulares (especificamente o número de componentes irredutíveis de gêneros específicos).

4. Contradição via Limites Superiores: Os autores comparam o limite inferior derivado para $\omega^2_{S/B}$ com um limite superior existente estabelecido no seu trabalho anterior (LZ19, Teorema 4.3).

   • O limite superior depende do grau do fibrado de Hodge e da configuração das fibras singulares.
   • Ao combinar a condição de campo de Higgs estritamente máximo (que fixa o grau do fibrado de Hodge relativamente à base) com as desigualdades de inclinação, os autores derivam uma desigualdade envolvendo o número de tipos específicos de fibras singulares ($\Delta_{ct,b}$).

Resultados Chave

• Teorema 1.2: Não existe qualquer curva de Shimura do tipo Mumford contida genericamente no lugar de Torelli de curvas não-hiperelípticas de gênero $g=4$.
• Teorema 1.4: Não existe qualquer curva de Shimura com um campo de Higgs estritamente máximo contida genericamente no lugar de Torelli de curvas não-hiperelípticas para qualquer gênero $g \ge 4$.
• Corolário 1.5: Se $g > 4$, nenhuma curva de Shimura com um campo de Higgs estritamente máximo está contida genericamente no lugar de Torelli $T_g$.

A prova do Teorema 1.4 procede por contradição. Assumir a existência de tal curva leva a uma desigualdade da forma:
$$\frac{7-g}{6} |\Delta_{ct,b}| > \deg f^*\omega_{S/B} \ge \frac{(g-1)^2}{2g+1} |\Delta_{ct,b}|$$
Para $g \ge 4$, o coeficiente à esquerda torna-se não positivo ou insuficiente para satisfazer a desigualdade contra o limite inferior positivo à direita, resultando numa contradição.

Significado e Alegações
O artigo afirma resolver a Questão 1.1 formulada por Oort sobre o gênero 4, provando a não existência de tais curvas no lugar não-hiperelíptico. Além disso, generaliza este resultado para todos os gêneros $g \ge 4$.

O significado reside no seguinte:

• Extensão do Trabalho Anterior: Os autores provaram anteriormente a não existência de tais curvas no lugar hiperelíptico para $g \ge 8$ (LZ17) e estabeleceram resultados de finitude para curvas superelípticas (CLZ21). Este artigo estende o resultado de não existência para o lugar não-hiperelíptico para todos os $g \ge 4$.
• Suporte à Conjectura de Coleman-Oort: Os resultados fornecem forte evidência para a conjectura de Coleman-Oort, especificamente excluindo uma grande classe de potenciais contraexemplos (curvas de Shimura do tipo Mumford) no lugar de Torelli não-hiperelíptico para todos os $g \ge 4$.
• Refinamento Metodológico: O artigo introduz uma desigualdade de inclinação refinada (Teorema 3.1) que accounta pela geometria específica das famílias que representam curvas de Shimura do tipo Mumford, lidando particularmente com a ramificação da cobertura dupla e a estrutura das fibras singulares.

Os autores não afirmam resolver a conjectura de Coleman-Oort completa para todas as subvariedades especiais ou todos os gêneros, mas sim estabelecer um resultado negativo definitivo para a classe específica de curvas de Shimura do tipo Mumford no lugar não-hiperelíptico.