Partial regularity for $\mathbb{A}$-quasiconvex functionals with Orlicz growth

技术摘要：具有 Orlicz 增长的 A-拟凸泛函的部分正则性

问题陈述
本文研究了如下形式的变分泛函极小值的部分正则性：
$$\mathcal{F}[u] := \int_{\Omega} F(Au) \, dx,$$
其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是有界开集，$A$ 是常系数的一阶齐次线性微分算子，$F$ 是变分被积函数。本研究聚焦于两种特定的增长情形：

1. $\Delta_2 \cap \nabla_2$-Orlicz 增长：增长函数 $\phi$ 同时满足加倍条件及其共轭函数也满足该条件。
2. $L \log L$-增长：一种极限情形，其中 $\phi(t) = t \log(1+t)$，满足 $\Delta_2$ 条件但不满足 $\nabla_2$ 条件。

算子 $A$ 作用于映射 $u: \Omega \to \mathbb{R}^k$（或一般的有限维内积空间 $V$），并取值于空间 $W$。被积函数 $F$ 被假定为 $\phi$-强 A-拟凸的。核心问题是：此类泛函的局部极小值是否在具有全勒贝格测度的相对开集上具有 $C^{1,\alpha}$ 正则性（即部分正则性），以及算子 $A$ 需满足何种条件才能保证这一点。

方法论
本文的主要方法论策略，受 Conti 与 Gmeineder [20] 启发，是一种归约论证。作者并非直接在算子 $A$ 上通过爆破技术或 A-调和逼近执行完整的部分正则性证明，而是将问题归约为关于全梯度 $\nabla$ 的泛函的已知部分正则性结果。

该归约依赖于两个关键组成部分：

1. Korn 型不等式：作者利用不等式，使得在 Orlicz 空间中能够通过算子 $Au$控制全梯度$\nabla u$。
   • 对于 $\Delta_2 \cap \nabla_2$ 情形，标准的 Korn 型不等式（定理 2.4）意味着，若 $Au \in L^\phi$，则 $\nabla u \in L^\phi$。
   • 对于 $L \log L$ 情形，作者基于 Cianchi 的工作 [19] 建立了一个广义 Korn 型不等式（定理 5.1）。该不等式揭示了“一个对数项的损失”：若 $Au \in L^\phi$ 且 $\phi(t) = t \log(1+t)$，则 $\nabla u$ 在一个稍弱的空间中被控制，具体为带有对数权重的 $L^1$ 空间，这需要在拟凸性框架中进行调整。
2. 向全梯度泛函的变换：通过定义新的被积函数 $G(z) = F(\pi_A(z))$，其中 $\pi_A$ 是满足 $Av = \pi_A(\nabla v)$ 的线性映射，问题被映射为依赖于 $\nabla v$ 的泛函。作者验证了 $F$ 的 $\phi$-强 A-拟凸性在各自的增长情形下转化为 $G$ 的适当强拟凸性条件。

主要贡献与结果

• 定理 1.1（$\Delta_2 \cap \nabla_2$-增长）：本文确立了，对于 $\phi$-增长的泛函（其中 $\phi \in \Delta_2 \cap \nabla_2$），局部极小值 $u$ 是 $C^{1,\alpha}_{loc}$-部分正则的，当且仅当算子 $A$ 是椭圆的（即其傅里叶符号 $A[\xi]$ 对所有 $\xi \neq 0$ 都是单射的）。

  • 证明表明，在椭圆性假设下，Korn 型不等式允许将其归约为全梯度情形，而在 Orlicz 增长下，全梯度情形的部分正则性已得到确立（引用 Diening 等人 [28] 以及 Breit 与 Verde [11]）。
  • 反之，若 $A$ 非椭圆，则 $A$ 的核中存在非正则函数（引理 2.2），从而排除了部分正则性。

• 定理 1.2（$L \log L$-增长）：本文将归约策略扩展到了极限情形 $\phi(t) = t \log(1+t)$。证明了部分正则性成立当且仅当 $A$ 是椭圆算子。

  • 由于 Korn 不等式（定理 5.1）中正则性的损失，归约并未直接映射到 $L^\phi$ 梯度的 $C^{1,\alpha}$ 结果。相反，作者将框架调整到有界变差（BV）函数空间。
  • 通过利用 Gmeineder 与 Kristensen [44] 关于 $p=1$ 增长和 $L \log L$ 增长的近期结果，作者表明原泛函的极小值对应于归约后泛函的局部 BV-极小值，从而继承了部分正则性。

• 强制性与存在性（第 3 节）：本文对 Orlicz-Sobolev 空间 $W^{1,\phi}_A(\Omega)$ 中狄利克雷类上的泛函强制性进行了严格处理。在 $\phi$-强 A-拟凸性假设下确立了极小值的存在性，阐明了强拟凸性的积分定义与涉及辅助 $V$-函数的条件之间的等价性（定理 3.6）。

意义与主张
本文声称提供了一种针对广泛微分算子类及增长条件的部分正则性的统一方法。

• 归约的最优性：作者断言，此前由 Conti 与 Gmeineder [20] 应用于 $p$-增长泛函的归约策略，已被最优地扩展至 $L \log L$ 情形。本文指出，对于端点 $p=1$（或对数以下增长），归约策略失效，因为 $Au \in L^\phi$ 并不蕴含 $\nabla u \in L^1_{loc}$，因此 $L \log L$ 的结果代表了该特定方法论的极限。
• 推广：这些结果将现有的部分正则性理论从标准梯度情形（$A=\nabla$）和对称梯度情形（$A=\varepsilon$）推广到了任意常秩椭圆算子。
• 范围：本文明确将指数增长被积函数（标度的另一端）的研究推迟至未来工作，指出归约策略是主要焦点。

总之，本文证明了微分算子 $A$ 的椭圆性是 Orlicz 增长背景下极小值部分正则性的充要条件，涵盖了标准的 $\Delta_2 \cap \nabla_2$ 情形和关键的 $L \log L$ 极限情形，通过成功地将这些问题归约为全梯度泛函的既定结果。