Partial regularity for $\mathbb{A}$-quasiconvex functionals with Orlicz growth

Resumen Técnico: Regularidad Parcial para Funcionales A-Cuasicóncavos con Crecimiento de Orlicz

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la regularidad parcial de los minimizadores de funcionales variacionales de la forma
$$\mathcal{F}[u] := \int_{\Omega} F(Au) \, dx,$$
donde $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto y acotado, $A$ es un operador diferencial lineal homogéneo de primer orden con coeficientes constantes, y $F$ es un integrando variacional. El estudio se centra en dos regímenes de crecimiento específicos:

1. Crecimiento de Orlicz $\Delta_2 \cap \nabla_2$: Donde la función de crecimiento $\phi$ satisface tanto la condición de duplicación como su conjugada también la satisface.
2. Crecimiento $L \log L$: Un caso límite donde $\phi(t) = t \log(1+t)$, que satisface la condición $\Delta_2$ pero falla en la condición $\nabla_2$.

El operador $A$ actúa sobre aplicaciones $u: \Omega \to \mathbb{R}^k$ (o un espacio general de producto interno de dimensión finita $V$) y toma valores en un espacio $W$. Se asume que el integrando $F$ es fuertemente $A$-cuasicóncavo en el sentido de $\phi$. La pregunta central es si los minimizadores locales de tales funcionales son $C^{1,\alpha}$-regulares en un conjunto relativamente abierto de medida de Lebesgue completa (regularidad parcial), y bajo qué condiciones sobre el operador $A$ esto se cumple.

Metodología
La estrategia metodológica principal, inspirada en Conti & Gmeineder [20], es un argumento de reducción. En lugar de ejecutar una prueba completa de regularidad parcial mediante técnicas de reescalado o aproximación $A$-armónica directamente sobre el operador $A$, el autor reduce el problema a resultados conocidos de regularidad parcial para funcionales que involucran el gradiente completo $\nabla$.

La reducción depende de dos componentes críticos:

1. Desigualdades de tipo Korn: El autor utiliza desigualdades que permiten controlar el gradiente completo $\nabla u$ mediante el operador $Au$ en espacios de Orlicz.
   • Para el caso $\Delta_2 \cap \nabla_2$, las desigualdades estándar de tipo Korn (Teorema 2.4) implican que si $Au \in L^\phi$, entonces $\nabla u \in L^\phi$.
   • Para el caso $L \log L$, el autor establece una desigualdad generalizada de tipo Korn (Teorema 5.1) basada en el trabajo de Cianchi [19]. Esta desigualdad revela una "pérdida de un logaritmo": si $Au \in L^\phi$ con $\phi(t) = t \log(1+t)$, entonces $\nabla u$ está controlado en un espacio ligeramente más débil, específicamente $L^1$ con un peso logarítmico, lo que requiere un cambio en el marco de cuasicóncavidad.
2. Transformación a Funcionales de Gradiente Completo: Definiendo un nuevo integrando $G(z) = F(\pi_A(z))$, donde $\pi_A$ es una aplicación lineal que satisface $Av = \pi_A(\nabla v)$, el problema se mapea a un funcional que depende de $\nabla v$. El autor verifica que la fuerte $A$-cuasicóncavidad de $F$ en el sentido de $\phi$ se traduce en las condiciones de cuasicóncavidad fuerte apropiadas para $G$ en los respectivos regímenes de crecimiento.

Contribuciones y Resultados Clave

• Teorema 1.1 (Crecimiento $\Delta_2 \cap \nabla_2$): El artículo establece que para funcionales con crecimiento $\phi$ donde $\phi \in \Delta_2 \cap \nabla_2$, un minimizador local $u$ es parcialmente regular $C^{1,\alpha}_{loc}$ si y solo si el operador $A$ es elíptico (es decir, su símbolo de Fourier $A[\xi]$ es inyectivo para todo $\xi \neq 0$).

  • La prueba demuestra que bajo la suposición de elipticidad, la desigualdad de tipo Korn permite la reducción al caso de gradiente completo, donde la regularidad parcial ya está establecida para el crecimiento de Orlicz (citando a Diening et al. [28] y Breit & Verde [11]).
  • Por el contrario, si $A$ no es elíptico, la existencia de funciones no regulares en el núcleo de $A$ (Lema 2.2) impide la regularidad parcial.

• Teorema 1.2 (Crecimiento $L \log L$): El artículo extiende la estrategia de reducción al caso límite $\phi(t) = t \log(1+t)$. Prueba que la regularidad parcial se cumple si y solo si $A$ es elíptico.

  • Debido a la pérdida de regularidad en la desigualdad de Korn (Teorema 5.1), la reducción no se mapea directamente a resultados $C^{1,\alpha}$ para gradientes en $L^\phi$. En su lugar, el autor adapta el marco al espacio de funciones de Variación Acotada (BV).
  • Utilizando resultados recientes sobre crecimiento $p=1$ y crecimiento $L \log L$ de Gmeineder & Kristensen [44], el autor muestra que los minimizadores del funcional original corresponden a minimizadores locales BV del funcional reducido, heredando así la regularidad parcial.

• Coercividad y Existencia (Sección 3): El artículo proporciona un tratamiento riguroso de la coercividad de los funcionales en clases de Dirichlet en espacios de Sobolev-Orlicz $W^{1,\phi}_A(\Omega)$. Establece la existencia de minimizadores bajo la suposición de fuerte $A$-cuasicóncavidad en el sentido de $\phi$, aclarando la equivalencia entre la definición integral de cuasicóncavidad fuerte y la condición que involucra la función auxiliar $V$ (Teorema 3.6).

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar un enfoque unificado para la regularidad parcial de una amplia clase de operadores diferenciales y condiciones de crecimiento.

• Optimalidad de la Reducción: El autor afirma que la estrategia de reducción, aplicada previamente a funcionales de crecimiento $p$ por Conti & Gmeineder [20], se extiende óptimamente al caso $L \log L$. El artículo señala que para el extremo $p=1$ (o crecimiento sub-logarítmico), la estrategia de reducción falla porque $Au \in L^\phi$ no implica $\nabla u \in L^1_{loc}$, y por lo tanto, los resultados para $L \log L$ representan el límite de esta metodología específica.
• Generalización: Los resultados generalizan las teorías existentes de regularidad parcial desde el caso del gradiente estándar ($A=\nabla$) y el caso del gradiente simétrico ($A=\varepsilon$) hasta operadores elípticos de rango constante arbitrarios.
• Alcance: El artículo pospone explícitamente la investigación de integrandos de crecimiento exponencial (el otro extremo de la escala) para trabajos futuros, señalando que la estrategia de reducción es el foco principal.

En resumen, el artículo demuestra que la elipticidad del operador diferencial $A$ es la condición necesaria y suficiente para la regularidad parcial de los minimizadores en el contexto del crecimiento de Orlicz, abarcando tanto los regímenes estándar $\Delta_2 \cap \nabla_2$ como el caso límite crítico $L \log L$, mediante la reducción exitosa de estos problemas a resultados establecidos para funcionales de gradiente completo.