Partial regularity for $\mathbb{A}$-quasiconvex functionals with Orlicz growth

Resumo Técnico: Regularidade Parcial para Funcionais A-Quasiconvexos com Crescimento de Orlicz

Enunciado do Problema
O artigo aborda a regularidade parcial de minimizadores para funcionais variacionais da forma
$$\mathcal{F}[u] := \int_{\Omega} F(Au) \, dx,$$
onde $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ é um conjunto aberto e limitado, $A$ é um operador diferencial linear homogêneo de primeira ordem com coeficientes constantes, e $F$ é um integrando variacional. O estudo foca em dois regimes de crescimento específicos:

1. Crescimento de Orlicz $\Delta_2 \cap \nabla_2$: Onde a função de crescimento $\phi$ satisfaz tanto a condição de duplicação quanto sua conjugada também a satisfaz.
2. Crescimento $L \log L$: Um caso limite onde $\phi(t) = t \log(1+t)$, que satisfaz a condição $\Delta_2$ mas falha na condição $\nabla_2$.

O operador $A$ atua sobre aplicações $u: \Omega \to \mathbb{R}^k$ (ou um espaço de produto interno geral de dimensão finita $V$) e assume valores em um espaço $W$. O integrando $F$ é assumido ser $\phi$-fortemente $A$-quasiconvexo. A questão central é se os minimizadores locais de tais funcionais são $C^{1,\alpha}$-regulares em um conjunto relativamente aberto de medida de Lebesgue total (regularidade parcial), e sob quais condições sobre o operador $A$ isso se mantém.

Metodologia
A principal estratégia metodológica, inspirada por Conti & Gmeineder [20], é um argumento de redução. Em vez de executar uma prova completa de regularidade parcial via técnicas de blow-up ou aproximação $A$-harmônica diretamente sobre o operador $A$, o autor reduz o problema a resultados conhecidos de regularidade parcial para funcionais envolvendo o gradiente completo $\nabla$.

A redução depende de dois componentes críticos:

1. Desigualdades do Tipo Korn: O autor utiliza desigualdades que permitem o controle do gradiente completo $\nabla u$ pelo operador $Au$ em espaços de Orlicz.
   • Para o caso $\Delta_2 \cap \nabla_2$, desigualdades padrão do tipo Korn (Teorema 2.4) implicam que, se $Au \in L^\phi$, então $\nabla u \in L^\phi$.
   • Para o caso $L \log L$, o autor estabelece uma desigualdade generalizada do tipo Korn (Teorema 5.1) baseada no trabalho de Cianchi [19]. Esta desigualdade revela uma "perda de um logaritmo": se $Au \in L^\phi$ com $\phi(t) = t \log(1+t)$, então $\nabla u$ é controlado em um espaço ligeiramente mais fraco, especificamente $L^1$ com um peso logarítmico, necessitando de uma mudança no quadro de quasiconvexidade.
2. Transformação para Funcionais de Gradiente Completo: Definindo um novo integrando $G(z) = F(\pi_A(z))$, onde $\pi_A$ é uma aplicação linear satisfazendo $Av = \pi_A(\nabla v)$, o problema é mapeado para um funcional dependendo de $\nabla v$. O autor verifica que a $\phi$-forte $A$-quasiconvexidade de $F$ se traduz nas condições apropriadas de forte quasiconvexidade para $G$ nos respectivos regimes de crescimento.

Contribuições e Resultados Principais

• Teorema 1.1 (Crescimento $\Delta_2 \cap \nabla_2$): O artigo estabelece que, para funcionais com crescimento $\phi$ onde $\phi \in \Delta_2 \cap \nabla_2$, um minimizador local $u$ é parcialmente regular $C^{1,\alpha}_{loc}$ se e somente se o operador $A$ for elíptico (ou seja, seu símbolo de Fourier $A[\xi]$ é injetivo para todo $\xi \neq 0$).

  • A prova demonstra que, sob a hipótese de elipticidade, a desigualdade do tipo Korn permite a redução ao caso de gradiente completo, onde a regularidade parcial já está estabelecida para crescimento de Orlicz (citando Diening et al. [28] e Breit & Verde [11]).
  • Inversamente, se $A$ não for elíptico, a existência de funções não regulares no núcleo de $A$ (Lema 2.2) impede a regularidade parcial.

• Teorema 1.2 (Crescimento $L \log L$): O artigo estende a estratégia de redução ao caso limite $\phi(t) = t \log(1+t)$. Prova-se que a regularidade parcial vale se e somente se $A$ for elíptico.

  • Devido à perda de regularidade na desigualdade de Korn (Teorema 5.1), a redução não mapeia diretamente para resultados $C^{1,\alpha}$ para gradientes $L^\phi$. Em vez disso, o autor adapta o quadro para o espaço de Funções de Variação Limitada (BV).
  • Ao utilizar resultados recentes sobre crescimento $p=1$ e crescimento $L \log L$ de Gmeineder & Kristensen [44], o autor mostra que os minimizadores do funcional original correspondem a minimizadores locais BV do funcional reduzido, herdando assim a regularidade parcial.

• Coercividade e Existência (Seção 3): O artigo fornece um tratamento rigoroso da coercividade dos funcionais em classes de Dirichlet nos espaços de Sobolev-Orlicz $W^{1,\phi}_A(\Omega)$. Estabelece a existência de minimizadores sob a hipótese de $\phi$-forte $A$-quasiconvexidade, esclarecendo a equivalência entre a definição integral de forte quasiconvexidade e a condição envolvendo a função auxiliar $V$ (Teorema 3.6).

Significado e Alegações
O artigo alega fornecer uma abordagem unificada para a regularidade parcial de uma ampla classe de operadores diferenciais e condições de crescimento.

• Otimização da Redução: O autor afirma que a estratégia de redução, anteriormente aplicada a funcionais de crescimento $p$ por Conti & Gmeineder [20], é estendida de forma ótima ao caso $L \log L$. O artigo observa que, para o ponto final $p=1$ (ou crescimento sub-logarítmico), a estratégia de redução falha porque $Au \in L^\phi$ não implica $\nabla u \in L^1_{loc}$, e assim os resultados para $L \log L$ representam o limite desta metodologia específica.
• Generalização: Os resultados generalizam teorias existentes de regularidade parcial do caso de gradiente padrão ($A=\nabla$) e do caso de gradiente simétrico ($A=\varepsilon$) para operadores elípticos de posto constante arbitrários.
• Escopo: O artigo adia explicitamente a investigação de integrandos de crescimento exponencial (o outro extremo da escala) para trabalhos futuros, observando que a estratégia de redução é o foco principal.

Em resumo, o artigo demonstra que a elipticidade do operador diferencial $A$ é a condição necessária e suficiente para a regularidade parcial de minimizadores no contexto de crescimento de Orlicz, cobrindo tanto os regimes padrão $\Delta_2 \cap \nabla_2$ quanto o caso limite crítico $L \log L$, reduzindo com sucesso esses problemas a resultados estabelecidos para funcionais de gradiente completo.