Partial regularity for $\mathbb{A}$-quasiconvex functionals with Orlicz growth

Technische Samenvatting: Partiële Regulariteit voor A-Kwasi-convexe Functionalen met Orlicz-groei

Probleemstelling
Het artikel behandelt de partiële regulariteit van minimalizers voor variatiefunctionalen van de vorm
$$\mathcal{F}[u] := \int_{\Omega} F(Au) \, dx,$$
waarbij $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ een open, begrensd gebied is, $A$ een lineaire differentiaaloperator van de eerste orde met constante coëfficiënten is, en $F$ een variatie-integrand is. De studie richt zich op twee specifieke groeiregimes:

1. $\Delta_2 \cap \nabla_2$-Orlicz-groei: Waar de groeifunctie $\phi$ zowel aan de verdubbelingsvoorwaarde voldoet als haar geconjugeerde.
2. $L \log L$-groei: Een limietgeval waarbij $\phi(t) = t \log(1+t)$, wat voldoet aan de $\Delta_2$-voorwaarde maar niet aan de $\nabla_2$-voorwaarde.

De operator $A$ werkt op afbeeldingen $u: \Omega \to \mathbb{R}^k$ (of een algemene eindigdimensionale inproductruimte $V$) en neemt waarden aan in een ruimte $W$. De integrand $F$ wordt verondersteld $\phi$-sterk $A$-kwasi-convex te zijn. De centrale vraag is of lokale minimalizers van dergelijke functionalen $C^{1,\alpha}$-regulariteit bezitten op een relatief open verzameling van volledige Lebesgue-maat (partiële regulariteit), en onder welke voorwaarden op de operator $A$ dit geldt.

Methodologie
De primaire methodologische strategie, geïnspireerd door Conti & Gmeineder [20], is een reductie-argument. In plaats van een volledige bewijsvoering voor partiële regulariteit uit te voeren via blow-up-technieken of $A$-harmonische benadering direct op de operator $A$, reduceert de auteur het probleem tot bekende resultaten voor partiële regulariteit van functionalen die de volledige gradiënt $\nabla$ betreffen.

De reductie berust op twee kritieke componenten:

1. Korn-achtige ongelijkheden: De auteur maakt gebruik van ongelijkheden die het mogelijk maken de volledige gradiënt $\nabla u$ te beheersen door de operator $Au$ in Orlicz-ruimten.
   • Voor het $\Delta_2 \cap \nabla_2$-geval impliceren standaard Korn-achtige ongelijkheden (Stelling 2.4) dat als $Au \in L^\phi$, dan ook $\nabla u \in L^\phi$.
   • Voor het $L \log L$-geval stelt de auteur een gegeneraliseerde Korn-achtige ongelijkheid vast (Stelling 5.1) gebaseerd op het werk van Cianchi [19]. Deze ongelijkheid onthult een "verlies van één logaritme": als $Au \in L^\phi$ met $\phi(t) = t \log(1+t)$, dan wordt $\nabla u$ beheerst in een iets zwakkere ruimte, specifiek $L^1$ met een logaritmische gewichtsfactor, wat een verschuiving in het kwasi-convexiteitskader vereist.
2. Transformatie naar Functionalen met Volledige Gradiënt: Door een nieuwe integrand te definiëren als $G(z) = F(\pi_A(z))$, waarbij $\pi_A$ een lineaire afbeelding is die voldoet aan $Av = \pi_A(\nabla v)$, wordt het probleem gemapt naar een functional die afhankelijk is van $\nabla v$. De auteur verifieert dat de $\phi$-sterke $A$-kwasi-convexiteit van $F$ vertaalt naar de passende sterke kwasi-convexiteitsvoorwaarden voor $G$ in de respectievelijke groeiregimes.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Stelling 1.1 ($\Delta_2 \cap \nabla_2$-groei): Het artikel stelt vast dat voor functionalen met $\phi$-groei waarbij $\phi \in \Delta_2 \cap \nabla_2$, een lokale minimizer $u$ $C^{1,\alpha}_{loc}$-partiële regulariteit bezit dan en slechts dan als de operator $A$ elliptisch is (d.w.z. dat zijn Fourier-symbool $A[\xi]$ injectief is voor alle $\xi \neq 0$).

  • Het bewijs toont aan dat onder de ellipticiteitsaanname de Korn-achtige ongelijkheid de reductie naar het geval van de volledige gradiënt toelaat, waar partiële regulariteit reeds is vastgesteld voor Orlicz-groei (met verwijzing naar Diening et al. [28] en Breit & Verde [11]).
  • Omgekeerd, als $A$ niet elliptisch is, verhindert het bestaan van niet-reguliere functies in de kern van $A$ (Lemma 2.2) partiële regulariteit.

• Stelling 1.2 ($L \log L$-groei): Het artikel breidt de reductiestrategie uit naar het limietgeval $\phi(t) = t \log(1+t)$. Het bewijst dat partiële regulariteit geldt dan en slechts dan als $A$ elliptisch is.

  • Vanwege het verlies van regulariteit in de Korn-ongelijkheid (Stelling 5.1) mappert de reductie niet direct naar $C^{1,\alpha}$-resultaten voor $L^\phi$-gradiënten. In plaats daarvan past de auteur het kader aan aan de ruimte van functies met Beperkte Variatie (BV).
  • Door gebruik te maken van recente resultaten over $p=1$-groei en $L \log L$-groei door Gmeineder & Kristensen [44], toont de auteur aan dat minimalizers van de oorspronkelijke functional corresponderen met lokale BV-minimalizers van de gereduceerde functional, en hierdoor partiële regulariteit erven.

• Coerciviteit en Existentie (Sectie 3): Het artikel biedt een rigoureuze behandeling van de coerciviteit van de functionalen op Dirichlet-klassen in Orlicz-Sobolev-ruimten $W^{1,\phi}_A(\Omega)$. Het stelt de existentie van minimalizers vast onder de aanname van $\phi$-sterke $A$-kwasi-convexiteit, en verduidelijkt de equivalentie tussen de integrale definitie van sterke kwasi-convexiteit en de voorwaarde die de hulp-V-functie betreft (Stelling 3.6).

Betekenis en Aanspraken
Het artikel claimt een geünificeerde aanpak te bieden voor partiële regulariteit voor een brede klasse van differentiaaloperatoren en groeivoorwaarden.

• Optimaliteit van Reductie: De auteur stelt dat de reductiestrategie, die eerder door Conti & Gmeineder [20] werd toegepast op functionalen met $p$-groei, optimaal wordt uitgebreid naar het $L \log L$-geval. Het artikel merkt op dat voor het eindpunt $p=1$ (of sub-logaritmische groei) de reductiestrategie faalt omdat $Au \in L^\phi$ niet impliceert dat $\nabla u \in L^1_{loc}$, en derhalve vertegenwoordigen de resultaten voor $L \log L$ de limiet van deze specifieke methodologie.
• Generalisatie: De resultaten generaliseren bestaande theorieën voor partiële regulariteit van het standaardgradiëntgeval ($A=\nabla$) en het symmetrisch gradiëntgeval ($A=\varepsilon$) naar willekeurige elliptische operatoren met constant rang.
• Reikwijdte: Het artikel stelt expliciet dat het onderzoek naar exponentiële groei-integranden (het andere uiteinde van de schaal) wordt uitgesteld voor toekomstig werk, met de opmerking dat de reductiestrategie de primaire focus is.

Samenvattend toont het artikel aan dat de ellipticiteit van de differentiaaloperator $A$ de noodzakelijke en voldoende voorwaarde is voor de partiële regulariteit van minimalizers in de context van Orlicz-groei, waarbij zowel de standaard $\Delta_2 \cap \nabla_2$-regimes als het kritieke $L \log L$-limietgeval worden bestreken, door deze problemen succesvol te reduceren tot gevestigde resultaten voor functionalen met volledige gradiënt.