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Proportional Committee Elections with Positive and Negative Votes

本文研究了选民可以投出正向和负向选票背景下的比例代表制委员会选举，提出了两种不同的负向投票解释以定义新的比例性公理，并评估了 Phragmén 规则、PAV 和 MES 的变体对这些公理的满足情况。

原作者： Sonja Kraiczy, Georgios Papasotiropoulos, Grzegorz Pierczyński, Piotr Skowron

发布于 2026-08-13

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原作者： Sonja Kraiczy, Georgios Papasotiropoulos, Grzegorz Pierczyński, Piotr Skowron

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一个这样的世界：群体决策不仅仅是关于大声喊“是！”，还包括大声喊“不！”并让声音被听见。这就是**计算社会选择（computational social choice）**的领域，这是一个利用数学和计算机算法来研究如何将一群混乱的个人意见转化为单一、公平的群体决策的科学分支。你可能在班级投票决定研学旅行或团队挑选电影之夜时见过这种做法。通常，你只是为你喜欢的选项举手。但如果通过举手也能表达“绝对不要那一个”呢？这就是这篇论文所探讨的转折点：在选举中，人们既可以赞成候选人，也可以否决候选人。

核心问题是比例性（proportionality）。把它想象成切披萨。如果一群朋友占据了派对人数的 40%，他们应该得到大约 40% 的披萨切片，而不是仅仅得到别人不要的剩菜。在经典投票法中，我们知道当每个人只说“是”时，如何公平地切分披萨。但当人们开始说“不”时，数学变得复杂了。如果一个群体讨厌某个候选人，这是否意味着他们获得了一块披萨来避开那个候选人，还是仅仅意味着他们可以吃自己那块“好东西”？这篇论文提出了一个问题：当我们使用“点赞”和“踩”这两个按钮时，我们该如何设计一个公平的投票系统？

这篇题为《具有正向和负向投票的比例制委员会选举》（Proportional Committee Elections with Positive and Negative Votes）的论文深入探讨了这个谜题。作者们是来自牛津大学和华沙大学的研究团队，他们提出，对于一个“踩”的解释并不只有一种方式。他们认为我们需要通过两种不同的视角来看待负面投票，就像戴着两副不同的眼镜一样。

第一副眼镜：对称视角（“等权重”透镜）
在第一个模型中，作者设想对于一名选民来说，阻挡一个坏候选人的重要性与选出一个好候选人是一样的。这就像一场拔河比赛，向左拉绳子（否决）的力量与向右拉绳子（赞成）的力量同样强大。为了使数学逻辑成立，他们将“不”票处理为仿佛是对一个与真实候选人完全相反的“幽灵候选人”投了“是”。如果你对候选人 A 投了“不”，在数学上等同于你对“反 A”投了“是”。

研究人员针对这一模型测试了三种著名的投票规则：

弗拉格曼规则（Phragmén's Rule）： 这可以看作是一场慢动作拍卖，选民随着时间的推移赚取资金来购买候选人。作者发现，如果调整这一规则以允许选民通过“阻挡”候选人来消费，它的效果出奇地好。它保证了大群体能获得公平份额的“好东西”和“反向东西”。
PAV（比例赞成投票）： 这是一种试图实现幸福感最大化的规则。作者证明，即使有了负面投票，PAV 仍然能给群体带来非常高的满意度，尽管并非完美。他们从数学上证明了，在完美性方面存在一个微小且不可避免的差距（约 1.5 点的满意度“损失”），但它依然非常强大。
“浪费精力”问题： 作者发现这些规则中存在一个有趣的缺陷。有时，一个群体可能会把所有的“投票能量”都花在否决一个根本不会获胜的候选人身上。这就像人群对着一个没有任何支持者的候选人大喊“不！”，仅仅是为了获得力量感。这样做，他们会不小心耗尽了支持自己真正喜欢的候选人的能量。论文建议了一个修正方案：只允许选民否决那些确实在竞争中的候选人。

第二副眼镜：非对称视角（“代表权优先”透镜）
第二个模型颠覆了局面。在这里，作者认为“踩”与“赞”是不同的。在这个世界里，你的主要目标是让你的人当选。阻挡一个坏候选人是一个奖励，但它并不算作“代表权”。这就像是在说：“我要我的朋友进入团队，我也要确保那个恶霸进不来，但我朋友的席位才是真正的奖品。”

为了处理这种情况，作者发明了一个新概念，叫做**“反对税”（Opposition Tax）**。想象一下，每当一个候选人遭到很多人的“踩”时，他的价格标签就会上涨。如果一个候选人受到 10 个人的喜爱，却遭到 9 个人的反对，那么选举他的成本就会变得非常高。这迫使投票系统必须保持谨慎。

他们利用这种税收机制改进了 MES（等份额法，Method of Equal Shares） 和 弗拉格曼规则。
结果显示，这些带有“税收”的规则成功确保了大群体既能获得其应有的代表份额，同时也让那些拥有强烈反对意见的群体能够成功阻挡他们讨厌的候选人。
然而，他们发现 PAV（幸福最大化者）在这种模型下彻底失效了。数学证明，你无法通过调整 PAV 来同时满足代表权的需求和阻挡的需求。这是一个死胡同。

底线结论
这篇论文并不仅仅是在说“这里有一个新规则”。它证明了我们对“不”票的解读方式改变了一切。如果你关心平衡“好”与“坏”的权重，请使用带有调整后的弗拉格曼或 PAV 规则的对称模型。如果你更关心确保你的群体在桌上有席位，请使用带有“反对税”规则的非对称模型。

作者还指出，虽然我们在这些场景下已经有了很好的规则，但仍存在开放性的问题。例如，我们能否在第一个模型中让 PAV 规则达到完美的效率？他们怀疑这种微小的完美差距是真实存在的，但尚未证明这是无法弥补的。此外，在第二个模型中，他们承认他们的规则有时必须提前停止运行，从而留下空缺席位，这是他们希望未来研究者解决的问题。

归根结底，这项工作是一份路线图。它向我们展示了，当我们把“不”票的复杂性加入民主制度时，我们不能再沿用旧地图。我们需要新的工具、新的税收以及新的思考方式，来确保每个人都能得到公平的披萨切片，无论他们是在享受美食，还是仅仅在努力把饼皮推开。

技术摘要：具有正向与负向投票的比例制委员会选举

1. 问题陈述

本文研究了在选民可以表达正向投票（赞成）、负向投票（反对/否决）或弃权的设定下的比例制委员会选举问题。虽然比例代表制在经典的赞成投票（选民仅进行赞成投票）领域已得到广泛研究，但负向投票的引入带来了显著的概念和技术挑战。

核心难点在于如何在选民拥有阻挠候选人能力的设定下定义比例性。一种直接的方法，例如根据净赞成得分（赞成票减去反对票）选择候选人，无法提供公平的代表性。正如论文中的动机示例所示，简单的净得分规则可能会选出被大量少数派强烈反对的候选人，或者相反，无法选出少数派支持的候选人，因为多数派的反对抵消了少数派的赞成。本文旨在将比例性形式化为这种三值投票设定，并评估标准投票规则（Phragmén 规则、比例赞成投票 (PAV) 以及等份额法 (MES)）在这些新条件下的表现。

2. 方法论与框架

作者提出了两种不同的效用模型来解释负向投票的含义，从而导致了不同的比例性公理定义和规则适配。

2.1 对称效用模型

在该模型中，选民从选出被赞成的候选人和排除被反对的候选人中获得相等的效用。

形式化： 作者为每个真实候选人 $c$ 引入了“虚拟负向候选人”( $\neg c$ )。一个可行的结果必须为每个候选人精确选择 $\{c, \neg c\}$ 中的一个，并受限于最多选择 $k$ 个正向候选人的约束。
比例性公理： 论文为选民群体 $S$ $S$ 定义了 $\ell$ -凝聚性 ( $\ell$ $ℓ$ -cohesiveness)。如果一个群体的规模相对于选民总数足以支撑其在共同赞成的候选人 ( $A_S$ $A_{S}$ ) 和共同反对的候选人 ( $D_S$ $D_{S}$ ) 中获得的“共同满足感”，则称该群体是 $\ell$ $ℓ$ -凝聚的。
- 比例正当代表性 (PJR)： 确保该群体整体获得比例份额的代表权。
- 比例度 (Proportionality Degree)： 保证该群体的平均满足感处于较高水平。
规则适配：
- Phragmén 规则： 经过适配，允许选民使用其积累的预算来通过选举一名候选人或否决（购买该候选人的负向对应项）一名候选人。
- 比例赞成投票 (PAV)： 经过适配，旨在最大化基于“被满足”候选人（无论是选出的正向候选人还是被排除的负向候选人）总数的调和得分之和。

2.2 非对称效用模型

在该模型中，选民主要关注的是被代表。反对票仅作为阻碍不受欢迎的候选人当选的手段，并不产生等同于选出心仪候选人的直接效用。

形式化： 正向投票和负向投票被分开处理。代表权的权利与阻挠权是截然不同的。
比例性公理：
- 扩展正当正向代表性 (EJPR) / PJPR： 类比于标准的 EJR/PJR，但针对存在反对选民的情况进行了调整。一个群体 $S$ 是 $\ell$ -正向凝聚的，如果其规模足够大，能够克服反对选民的否决权并仍能声称拥有 $\ell$ 名代表。
- 群体否决 (Group Veto)： 一种新的公理，确保如果一个足够大的群体反对一组候选人 $T$ ，则从 $T$ 中选出的候选人数量将受到限制。
规则适配：
- Tax-MES 与 Tax-Phragmén： 这些规则引入了**“反对税”**。选举候选人 $c$ 的成本会根据其支持者与反对者的比例而增加（ $p(c) = |A_c| / (|A_c| - |D_c|)$ ）。这使得支持者选举面临强烈反对的候选人的成本增加，从而有效地平衡了负向投票的影响。

3. 主要贡献与结果

3.1 对称效用模型中的结果

Phragmén 规则： 作者证明了适配后的 Phragmén 规则满足 PJR，并为强 $\ell$ -凝聚群体提供了关于比例度（平均满足感）的强保证。该规则可在多项式时间内运行。
比例赞成投票 (PAV)： 论文提供了一个技术性证明，表明 PAV 提供了近乎最优的比例性保证。具体而言，对于任何 $\ell$ $ℓ$ -凝聚的群体，其平均满足感至少为 $(1 - \epsilon)\ell - 3/2$ $(1 - ϵ) ℓ - 3/2$ ，其中 $\epsilon$ $ϵ$ 是依赖于 $k$ $k$ 的微小项。
- 紧致性 (Tightness)： 作者通过一个反例证明，常数项 $3/2$ 是必要的；在这一设定下，PAV 无法保证平均满足感达到 $\ell - 1$ 。
结果相关否决 (Outcome-Relevant Vetoes)： 作者发现了一种现象，即选民可能会为了阻挠那些本来就没有任何胜选机会的候选人而“消耗”影响力，从而无意中降低了他们选举心仪候选人的能力。他们提出了反事实否决删除 (CVD) 和最大否决删除 (MVD) 来解决这一问题。他们指出，标准的 PAV 和 Phragmén 并非“反事实稳定”的（即它们不会自然地满足这些删除属性），但提出了顺序优化方法（如顺序反事实 Phragmén）来减轻浪费否决影响力的现象。

3.2 非对称效用模型中的结果

Tax-MES 与 Tax-Phragmén： 作者展示了通过引入反对税来适配 MES 和 Phragmén，可以同时满足 EJPR（针对 Tax-MES）或 PJPR（针对 Tax-Phragmén）以及群体否决公理。
Thiele 规则的不可能性： 论文提出了一个重要的负面结果，涉及广义 Thiele 规则（包括 PAV 在内的这一类规则）。作者证明，没有任何广义 Thiele 规则能在尊重负向投票（即提供类似群体否决的负面保证）的同时满足 EJPR。这意味着 PAV 无法在非对称设定下自然扩展，以同时满足正向和负向的公平性标准。

4. 意义与主张

本文声称是首个为具有正向与负向投票的委员会选举提供理论保证的研究。此前该领域的工作（如 Talmon 和 Page）主要依赖模拟，并未建立标准规则的公理化满足情况。

作者强调，他们的工作凸显了如何解释负向投票的根本区别：

对称： 阻挠与选举同样具有价值。这适用于意见聚合（例如选择陈述或政策）。
非对称： 阻挠是一种防御机制，但代表权才是主要目标。这适用于选举代表（例如参与式预算或立法机构）。

论文总结道，超越二值赞成选票引入了全新的比例性问题，这些问题需要不同的公理框架和规则设计。文中还确定了一些开放性问题，例如缩小对称模型中 PAV 比例性保证的差距、将分析扩展到拟阵交集，以及设计计算效率高的反事实稳定规则。