On the number of exceptional intervals to the prime number theorem in short intervals

技术摘要：关于短区间内素数定理例外区间的数量

问题陈述
本文探讨了素数定理（PNT）在短区间内的有效性。具体而言，对于固定的指数 $0 < \theta \le 1$，猜想认为在区间 $[x, x+x^\theta]$ 上冯·曼戈尔特函数 $\Lambda(n)$ 的和满足 $\sum_{x<n\le x+x^\theta} \Lambda(n) \sim x^\theta$（当 $x \to \infty$ 时）。虽然已知当 $\theta > 17/30$ 时（基于近期的零点密度估计），该结论对所有 $x$ 成立；而当 $\theta > 2/15$ 时，对几乎所有 $x$ 成立；但在 $2/15 < \theta \le 17/30$ 的范围内，该结论在某些“例外”的 $x$ 值处失效。

核心问题在于量化该例外集 $E_\delta(X, \theta)$ 的大小，该集合定义为 $x \in [X, 2X]$ 中素数定理以相对误差 $\delta$ 失效的 $x$ 的集合。作者旨在确定指数 $\mu(\theta)$，使得例外集的勒贝格测度满足 $|E_\delta(X, \theta)| \ll X^{\mu(\theta)+o(1)}$。若 $\mu(\theta) < 1$，则意味着素数定理对几乎所有 $x$ 成立；若 $\mu(\theta) = -\infty$，则意味着对所有 $x$ 成立。

方法论
作者建立了黎曼 $\zeta$ 函数的零点密度估计与例外集指数 $\mu(\theta)$ 的界限之间的严格联系。

1. 显式公式与矩估计：证明策略依赖于 $\sum \Lambda(n)$ 的显式公式。作者将误差项分解为 $\zeta(s)$ 的非平凡零点 $\rho = \beta + i\gamma$ 的贡献。他们利用 $L^\infty$、$L^2$ 和 $L^4$ 矩估计来分析这些贡献的幅度。
2. 零点密度与加法能量：
   • 标准的零点密度定理提供了 $N(\sigma, T)$ 的界限，即实部 $\ge \sigma$ 且虚部 $\le T$ 的零点个数。指数 $A(\sigma)$ 定义为使得 $N(\sigma, T) \ll T^{A(\sigma)(1-\sigma)+\varepsilon}$ 成立。
   • 关键在于，作者纳入了零点加法能量的界限，记为 $N^*(\sigma, T)$，它统计满足 $|\gamma_1 + \gamma_2 - \gamma_3 - \gamma_4| \le 1$ 的零点四元组 $(\rho_1, \dots, \rho_4)$ 的数量。相关的指数为 $A^*(\sigma)$。
3. 界限推导：通过应用显式公式并利用 $L^2$ 和 $L^4$ 范数对所得和式进行界定，作者推导出了特定实部范围 $[\sigma, \sigma+\epsilon]$ 内零点贡献的两个相互竞争的上方界限：
   • 源自涉及 $A(\sigma)$ 的二阶矩的界限：$\mu_{2,\sigma}(\theta) = (1-\theta)(1-\sigma)A(\sigma) + 2\sigma - 1$。
   • 源自涉及 $A^*(\sigma)$ 的四阶矩的界限：$\mu_{4,\sigma}(\theta) = (1-\theta)(1-\sigma)A^*(\sigma) + 4\sigma - 3$。
4. 优化：$\mu(\theta)$ 的最终界限是通过在 $\varepsilon$ 上取下确界、在 $\sigma$ 上取这两个量最小值的上确界而获得的，前提是零点密度足够高（即满足 $A(\sigma) \ge \frac{1}{1-\theta} - \varepsilon$）。

主要贡献

• 定理 1.2（一般界限）：本文建立了一个将 $\mu(\theta)$ 与零点密度指数 $A(\sigma)$ 联系起来的一般公式。这重现了先前的结果，例如素数定理对所有 $x$ 成立的条件（$\theta > 1 - 1/A_0$）以及对几乎所有 $x$ 成立的条件（$\theta > 1 - 2/A_0$）。
• 定理 1.3（精化界限）：主要的理论贡献在于纳入了加法能量指数 $A^*(\sigma)$。作者证明了 $\mu(\theta)$ 受限于由二阶矩和四阶矩推导出的界限中的较小者。这一精化使得对例外集的限制更加严格，特别是在 $A^*(\sigma)$ 显著小于 $3A(\sigma)$ 的范围内。
• 与近期估计的显式联系：作者提供了一个框架，可直接应用最新的零点密度估计（特别是 Guth 和 Maynard，以及 Tao–Trudgian–Yang 的结果）来界定例外集。这是通过解析推导与计算机辅助数值评估相结合实现的。

结果

• 无条件界限：利用当前 $A(\sigma)$ 和 $A^*(\sigma)$ 的最佳无条件界限（总结于表 1 和表 2），作者计算了 $\mu(\theta)$ 的显式上界。
  • 对于 $\theta > 17/30$，例外集为空（素数定理对所有 $x$ 成立）。
  • 对于 $\theta > 2/15$，例外集的密度为零。
  • 在中间范围内，本文提供了具体的数值界限。例如，在 $\theta = 17/30$ 处，他们证明 $\mu(17/30) \le 7/12$。
• 与先前工作的比较：作者指出，他们的方法重现了 Bazzanella 和 Perelli 的界限，但通过利用加法能量估计，在某些范围内改进了这些界限。他们明确指出，无法复现先前工作（Bazzanella [4]）中关于 $1/6 < \theta \le 1/2$ 范围的一项具体主张，并指出了先前论证中与 Jutila 密度估计相关的缺陷。
• 假设情景：本文在密度猜想（DH）、林德勒夫猜想（LH）和黎曼猜想（RH）下分析了界限。在 RH 下，当 $\theta > 1/2$ 时，$\mu(\theta) = -\infty$。在 DH 下，界限显著改善，尽管作者指出，对于某些 $\theta$，无条件界限与假设 DH 下的界限出人意料地接近。

意义与主张
本文声称提供了迄今为止零点密度估计与例外集界限之间“最显式的关系”。其意义在于：

1. 统一框架：它建立了一种系统方法，可将零点密度估计（无论是 $A(\sigma)$ 还是 $A^*(\sigma)$）的任何改进直接转化为短区间内素数定理例外集界限的改进。
2. 利用加法能量：通过显式纳入零点的加法能量（$A^*(\sigma)$），作者证明了四阶矩估计对于获得最严格的已知无条件界限是必要的，从而重现并精化了那些依赖较旧、精度较低的密度估计的结果。
3. 计算验证：作者强调，他们的理论界限可通过计算机辅助立即应用，允许直接应用最新结果（例如 Guth–Maynard 的结果），而无需为例外集本身构建新的解析工具。

作者保持谦逊，指出界限的精确公式非常复杂，且随着新的零点密度估计被证明，这些公式可能会被取代。他们并未声称解决 $\theta \le 2/15$ 时短区间内的素数定理问题，而是提供了当前可及范围内例外情况的最佳已知定量描述。