On the number of exceptional intervals to the prime number theorem in short intervals

技術的概要：短区間における素数定理の例外区間の数について

問題提起
本論文は、短区間における素数定理（PNT）の妥当性に取り組む。具体的には、固定された指数 $0 < \theta \le 1$ に対して、区間 $[x, x+x^\theta]$ におけるフォン・マンゴルト関数 $\Lambda(n)$ の和が、$x \to \infty$ において $\sum_{x<n\le x+x^\theta} \Lambda(n) \sim x^\theta$ を満たすという予想が立てられている。これは、$\theta > 17/30$ の場合（最近の零点密度推定に基づく）、すべての $x$ に対して成り立つことが知られており、$\theta > 2/15$ の場合、ほとんどすべての $x$ に対して成り立つことが知られているが、$2/15 < \theta \le 17/30$ の範囲では、特定の「例外」的な $x$ の値に対しては成立しない。

中心的な問題は、相対誤差 $\delta$ によって PNT が破れる $x \in [X, 2X]$ の集合として定義される例外集合 $E_\delta(X, \theta)$ の大きさを定量化することである。著者らは、例外集合のルベーグ測度が $|E_\delta(X, \theta)| \ll X^{\mu(\theta)+o(1)}$ を満たすような指数 $\mu(\theta)$ を決定することを目的としている。$\mu(\theta) < 1$ であることは PNT がほとんどすべての $x$ で成立することを意味し、$\mu(\theta) = -\infty$ であることはすべての $x$ で成立することを意味する。

手法
著者らは、リーマン・ゼータ関数の零点密度推定と例外集合の指数 $\mu(\theta)$ の上限との間に厳密な関連性を確立する。

1. 明示的公式とモーメント推定: 証明戦略は、$\sum \Lambda(n)$ に対する明示的公式に依存している。著者らは誤差項を $\zeta(s)$ の非自明な零点 $\rho = \beta + i\gamma$ からの寄与に分解する。そして、$L^\infty$、$L^2$、および $L^4$ モーメント推定を用いて、これらの寄与の大きさを解析する。
2. 零点密度と加法エネルギー:
   • 標準的な零点密度定理は、実部が $\ge \sigma$ で虚部が $\le T$ である零点の個数 $N(\sigma, T)$ に対する上限を与える。指数 $A(\sigma)$ は、$N(\sigma, T) \ll T^{A(\sigma)(1-\sigma)+\varepsilon}$ となるように定義される。
   • 決定的な点として、著者らは零点の加法エネルギーの上限を取り入れている。これは $N^*(\sigma, T)$ と表記され、$|\gamma_1 + \gamma_2 - \gamma_3 - \gamma_4| \le 1$ となる零点の四つ組 $(\rho_1, \dots, \rho_4)$ の個数を数える。関連する指数は $A^*(\sigma)$ である。
3. 上限の導出: 明示的公式を適用し、$L^2$ ノルムおよび $L^4$ ノルムを介して得られる和を評価することで、著者らは特定の実部範囲 $[\sigma, \sigma+\epsilon]$ における零点の寄与に対する 2 つの競合する上限を導出する。
   • $A(\sigma)$ を含む 2 乗モーメントから導かれる上限：$\mu_{2,\sigma}(\theta) = (1-\theta)(1-\sigma)A(\sigma) + 2\sigma - 1$。
   • $A^*(\sigma)$ を含む 4 乗モーメントから導かれる上限：$\mu_{4,\sigma}(\theta) = (1-\theta)(1-\sigma)A^*(\sigma) + 4\sigma - 3$。
4. 最適化: $\mu(\theta)$ に対する最終的な上限は、これらの 2 つの量の最小値の、$\varepsilon$ に関する下限と $\sigma$ に関する上限をとることで得られる。ただし、零点密度が十分に高い（$A(\sigma) \ge \frac{1}{1-\theta} - \varepsilon$）という制約条件の下で行われる。

主要な貢献

• 定理 1.2（一般上限）: 本論文は、$\mu(\theta)$ と零点密度指数 $A(\sigma)$ とを関連付ける一般式を確立する。これにより、すべての $x$ に対して PNT が成立する条件（$\theta > 1 - 1/A_0$）や、ほとんどすべての $x$ に対して成立する条件（$\theta > 1 - 2/A_0$）など、以前の結果が回復される。
• 定理 1.3（精緻化された上限）: 主要な理論的貢献は、加法エネルギー指数 $A^*(\sigma)$ の取り込みである。著者らは、$\mu(\theta)$ が 2 乗モーメントおよび 4 乗モーメントから導かれる上限の最小値によって抑えられることを証明する。この精緻化により、特に $A^*(\sigma)$ が $3A(\sigma)$ よりも著しく小さい範囲において、例外集合に対するより厳しい制約が可能となる。
• 最近の推定との明示的関連: 著者らは、例外集合を評価するために、最新の零点密度推定（特に Guth と Maynard、および Tao–Trudgian–Yang によるもの）を直接適用できる枠組みを提供する。これは、解析的導出とコンピュータ支援による数値評価の組み合わせによって達成される。

結果

• 無条件上限: $A(\sigma)$ および $A^*(\sigma)$ に対する現在の最良の無条件上限（表 1 および表 2 に要約されている）を用いて、著者らは $\mu(\theta)$ に対する明示的な上限を計算する。
  • $\theta > 17/30$ の場合、例外集合は空である（PNT はすべての $x$ で成立する）。
  • $\theta > 2/15$ の場合、例外集合の密度はゼロである。
  • 中間範囲において、論文は具体的な数値上限を提供する。例えば、$\theta = 17/30$ において、$\mu(17/30) \le 7/12$ であることを示している。
• 以前の研究との比較: 著者らは、自らの手法が Bazzanella および Perelli の上限を回復するが、加法エネルギー推定を利用することで特定の範囲においてそれらを改善することを指摘している。また、$1/6 < \theta \le 1/2$ の範囲に関する以前の研究（Bazzanella [4]）の特定の主張を再現できなかったことを明示しており、Jutila の密度推定に関連する以前の議論における欠陥を特定している。
• 仮定的シナリオ: 本論文は、密度仮説（DH）、リンデレーフ仮説（LH）、およびリーマン仮説（RH）の下での上限を分析する。RH の下では、$\theta > 1/2$ に対して $\mu(\theta) = -\infty$ となる。DH の下では上限は著しく改善されるが、著者らは、特定の $\theta$ において、無条件上限が DH を仮定した場合の上限と驚くほど近いことを指摘している。

意義と主張
本論文は、零点密度推定と例外集合の上限との間における「これまでに最も明示的な関係」を提供すると主張している。その意義は以下の点にある。

1. 統合的枠組み: 零点密度推定（$A(\sigma)$ または $A^*(\sigma)$）のいかなる改善も、短区間における PNT の例外集合に対する改善された上限へ直接変換する体系的な手法を創出する。
2. 加法エネルギーの活用: 零点の加法エネルギー（$A^*(\sigma)$）を明示的に取り込むことで、著者らは、4 乗モーメント推定が既知の最良の無条件上限を得るために必要であることを実証し、より古く精度の低い密度推定に依存していた結果を回復・精緻化する。
3. 計算機による検証: 著者らは、理論的上限がコンピュータ支援を介して即座に適用可能であることを強調しており、例外集合そのものに対する新たな解析的機構を必要とすることなく、最新の結果（例えば Guth–Maynard）を直接適用できる。

著者らは謙虚であり、上限の正確な数式は複雑であり、新しい零点密度推定が証明されるにつれて更新される可能性があると述べている。また、$\theta \le 2/15$ における短区間での PNT の解決を主張するのではなく、現在アクセス可能な範囲における例外の最良の定量的記述を提供するにとどめている。