On the number of exceptional intervals to the prime number theorem in short intervals

Résumé Technique : Sur le Nombre d'Intervalles Exceptionnels pour le Théorème des Nombres Premiers dans des Intervalles Courts

Énoncé du Problème
L'article traite de la validité du Théorème des Nombres Premiers (TNP) dans des intervalles courts. Plus précisément, pour un exposant fixé $0 < \theta \le 1$, la conjecture est que la somme de la fonction de von Mangoldt $\Lambda(n)$ sur un intervalle $[x, x+x^\theta]$ satisfait $\sum_{x<n\le x+x^\theta} \Lambda(n) \sim x^\theta$ lorsque $x \to \infty$. Bien que cela soit connu pour être vrai pour tout $x$ lorsque $\theta > 17/30$ (basé sur des estimations récentes de densité des zéros) et pour presque tout $x$ lorsque $\theta > 2/15$, le comportement échoue pour certaines valeurs « exceptionnelles » de $x$ dans la plage $2/15 < \theta \le 17/30$.

Le problème central est de quantifier la taille de cet ensemble exceptionnel $E_\delta(X, \theta)$, défini comme l'ensemble des $x \in [X, 2X]$ où le TNP échoue avec une erreur relative $\delta$. Les auteurs visent à déterminer l'exposant $\mu(\theta)$ tel que la mesure de Lebesgue de l'ensemble exceptionnel satisfait $|E_\delta(X, \theta)| \ll X^{\mu(\theta)+o(1)}$. Une valeur de $\mu(\theta) < 1$ implique que le TNP vaut pour presque tout $x$, tandis que $\mu(\theta) = -\infty$ implique qu'il vaut pour tout $x$.

Méthodologie
Les auteurs établissent un lien rigoureux entre les estimations de densité des zéros de la fonction zêta de Riemann et les bornes sur l'exposant de l'ensemble exceptionnel $\mu(\theta)$.

1. Formule Explicite et Estimations de Moments : La stratégie de preuve repose sur la formule explicite pour $\sum \Lambda(n)$. Les auteurs décomposent le terme d'erreur en contributions provenant des zéros non triviaux $\rho = \beta + i\gamma$ de $\zeta(s)$. Ils analysent l'ampleur de ces contributions en utilisant des estimations de moments $L^\infty$, $L^2$ et $L^4$.
2. Densité des Zéros et Énergie Additive :
   • Le théorème standard de densité des zéros fournit des bornes sur $N(\sigma, T)$, le nombre de zéros avec partie réelle $\ge \sigma$ et partie imaginaire $\le T$. L'exposant $A(\sigma)$ est défini de telle sorte que $N(\sigma, T) \ll T^{A(\sigma)(1-\sigma)+\varepsilon}$.
   • Crucialement, les auteurs intègrent des bornes sur l'énergie additive des zéros, notée $N^*(\sigma, T)$, qui compte les quadruplets de zéros $(\rho_1, \dots, \rho_4)$ tels que $|\gamma_1 + \gamma_2 - \gamma_3 - \gamma_4| \le 1$. L'exposant associé est $A^*(\sigma)$.
3. Dérivation des Bornes : En appliquant la formule explicite et en bornant les sommes résultantes via les normes $L^2$ et $L^4$, les auteurs dérivent deux bornes supérieures concurrentes pour la contribution des zéros dans une plage de partie réelle spécifique $[\sigma, \sigma+\epsilon]$ :
   • Une borne dérivée du second moment impliquant $A(\sigma)$ : $\mu_{2,\sigma}(\theta) = (1-\theta)(1-\sigma)A(\sigma) + 2\sigma - 1$.
   • Une borne dérivée du quatrième moment impliquant $A^*(\sigma)$ : $\mu_{4,\sigma}(\theta) = (1-\theta)(1-\sigma)A^*(\sigma) + 4\sigma - 3$.
4. Optimisation : La borne finale pour $\mu(\theta)$ est obtenue en prenant l'infimum sur $\varepsilon$ et le supremum sur $\sigma$ du minimum de ces deux quantités, sous la contrainte que la densité des zéros soit suffisamment élevée ($A(\sigma) \ge \frac{1}{1-\theta} - \varepsilon$).

Contributions Clés

• Théorème 1.2 (Borne Générale) : L'article établit une formule générale reliant $\mu(\theta)$ à l'exposant de densité des zéros $A(\sigma)$. Cela permet de retrouver les résultats antérieurs, tels que la condition pour que le TNP vaille pour tout $x$ ($\theta > 1 - 1/A_0$) et pour presque tout $x$ ($\theta > 1 - 2/A_0$).
• Théorème 1.3 (Borne Raffinée) : La contribution théorique principale est l'inclusion de l'exposant d'énergie additive $A^*(\sigma)$. Les auteurs prouvent que $\mu(\theta)$ est borné par le minimum des bornes dérivées du second moment et du quatrième moment. Ce raffinement permet des contraintes plus serrées sur l'ensemble exceptionnel, en particulier dans les plages où $A^*(\sigma)$ est significativement plus petit que $3A(\sigma)$.
• Relation Explicite avec les Estimations Récentes : Les auteurs fournissent un cadre pour appliquer directement les estimations de densité des zéros les plus récentes (spécifiquement celles de Guth et Maynard, et de Tao–Trudgian–Yang) afin de borner l'ensemble exceptionnel. Cela est réalisé par une combinaison de dérivation analytique et d'évaluation numérique assistée par ordinateur.

Résultats

• Bornes Inconditionnelles : En utilisant les meilleures bornes inconditionnelles actuelles pour $A(\sigma)$ et $A^*(\sigma)$ (résumées dans les Tableaux 1 et 2), les auteurs calculent des bornes supérieures explicites pour $\mu(\theta)$.
  • Pour $\theta > 17/30$, l'ensemble exceptionnel est vide (le TNP vaut pour tout $x$).
  • Pour $\theta > 2/15$, l'ensemble exceptionnel a une densité nulle.
  • Dans la plage intermédiaire, l'article fournit des bornes numériques spécifiques. Par exemple, pour $\theta = 17/30$, ils montrent que $\mu(17/30) \le 7/12$.
• Comparaison avec les Travaux Antérieurs : Les auteurs notent que leur méthode retrouve les bornes de Bazzanella et Perelli mais les améliore dans certaines plages en utilisant les estimations d'énergie additive. Ils déclarent explicitement ne pas avoir pu reproduire une affirmation spécifique dans un travail antérieur (Bazzanella [4]) concernant la plage $1/6 < \theta \le 1/2$, identifiant une lacune dans l'argument précédent liée à l'estimation de densité de Jutila.
• Scénarios Hypothétiques : L'article analyse les bornes sous l'Hypothèse de Densité (HD), l'Hypothèse de Lindelöf (HL) et l'Hypothèse de Riemann (HR). Sous HR, $\mu(\theta) = -\infty$ pour $\theta > 1/2$. Sous HD, les bornes s'améliorent considérablement, bien que les auteurs notent que pour certains $\theta$, les bornes inconditionnelles sont étonnamment proches de celles supposant HD.

Signification et Revendications
L'article revendique fournir la « relation la plus explicite » entre les estimations de densité des zéros et les bornes sur les ensembles exceptionnels à ce jour. Sa signification réside dans :

1. Cadre Unificateur : Il crée une méthode systématique pour traduire toute amélioration des estimations de densité des zéros (soit $A(\sigma)$ soit $A^*(\sigma)$) directement en bornes améliorées sur l'ensemble exceptionnel pour le TNP dans des intervalles courts.
2. Utilisation de l'Énergie Additive : En incorporant explicitement l'énergie additive des zéros ($A^*(\sigma)$), les auteurs démontrent que les estimations du quatrième moment sont nécessaires pour obtenir les bornes inconditionnelles les plus précises connues, retrouvant et raffinant des résultats qui reposaient sur d'anciennes estimations de densité moins précises.
3. Vérification Computationnelle : Les auteurs soulignent que leurs bornes théoriques sont immédiatement applicables via une assistance informatique, permettant l'application directe des derniers résultats (par exemple, Guth–Maynard) sans nécessiter de nouveaux mécanismes analytiques pour l'ensemble exceptionnel lui-même.

Les auteurs restent modestes, notant que les formules exactes des bornes sont complexes et susceptibles d'être dépassées à mesure que de nouvelles estimations de densité des zéros seront prouvées. Ils ne revendiquent pas résoudre le TNP dans des intervalles courts pour $\theta \le 2/15$, mais fournissent plutôt la description quantitative la plus connue des exceptions dans la plage actuellement accessible.