On the number of exceptional intervals to the prime number theorem in short intervals

Resumen Técnico: Sobre el Número de Intervalos Excepcionales para el Teorema de los Números Primos en Intervalos Cortos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la validez del Teorema de los Números Primos (TNP) en intervalos cortos. Específicamente, para un exponente fijo $0 < \theta \le 1$, la conjetura establece que la suma de la función de von Mangoldt $\Lambda(n)$ sobre un intervalo $[x, x+x^\theta]$ satisface $\sum_{x<n\le x+x^\theta} \Lambda(n) \sim x^\theta$ cuando $x \to \infty$. Si bien se sabe que esto se cumple para todo $x$ cuando $\theta > 17/30$ (basado en estimaciones recientes de densidad de ceros) y para casi todo $x$ cuando $\theta > 2/15$, el comportamiento falla para ciertos valores "excepcionales" de $x$ en el rango $2/15 < \theta \le 17/30$.

El problema central es cuantificar el tamaño de este conjunto excepcional $E_\delta(X, \theta)$, definido como el conjunto de $x \in [X, 2X]$ donde el TNP falla con un error relativo $\delta$. Los autores buscan determinar el exponente $\mu(\theta)$ tal que la medida de Lebesgue del conjunto excepcional satisfaga $|E_\delta(X, \theta)| \ll X^{\mu(\theta)+o(1)}$. Un valor de $\mu(\theta) < 1$ implica que el TNP se cumple para casi todo $x$, mientras que $\mu(\theta) = -\infty$ implica que se cumple para todo $x$.

Metodología
Los autores establecen una conexión rigurosa entre las estimaciones de densidad de ceros de la función zeta de Riemann y las cotas para el exponente del conjunto excepcional $\mu(\theta)$.

1. Fórmula Explícita y Estimaciones de Momentos: La estrategia de prueba se basa en la fórmula explícita para $\sum \Lambda(n)$. Los autores descomponen el término de error en contribuciones provenientes de los ceros no triviales $\rho = \beta + i\gamma$ de $\zeta(s)$. Analizan la magnitud de estas contribuciones utilizando estimaciones de momentos $L^\infty$, $L^2$ y $L^4$.
2. Densidad de Ceros y Energía Aditiva:
   • El teorema estándar de densidad de ceros proporciona cotas para $N(\sigma, T)$, el número de ceros con parte real $\ge \sigma$ y parte imaginaria $\le T$. El exponente $A(\sigma)$ se define de tal manera que $N(\sigma, T) \ll T^{A(\sigma)(1-\sigma)+\varepsilon}$.
   • Crucialmente, los autores incorporan cotas para la energía aditiva de los ceros, denotada $N^*(\sigma, T)$, que cuenta cuádruplas de ceros $(\rho_1, \dots, \rho_4)$ tales que $|\gamma_1 + \gamma_2 - \gamma_3 - \gamma_4| \le 1$. El exponente asociado es $A^*(\sigma)$.
3. Derivación de Cotas: Aplicando la fórmula explícita y acotando las sumas resultantes mediante las normas $L^2$ y $L^4$, los autores derivan dos cotas superiores competitivas para la contribución de los ceros en un rango específico de parte real $[\sigma, \sigma+\epsilon]$:
   • Una cota derivada del segundo momento que involucra $A(\sigma)$: $\mu_{2,\sigma}(\theta) = (1-\theta)(1-\sigma)A(\sigma) + 2\sigma - 1$.
   • Una cota derivada del cuarto momento que involucra $A^*(\sigma)$: $\mu_{4,\sigma}(\theta) = (1-\theta)(1-\sigma)A^*(\sigma) + 4\sigma - 3$.
4. Optimización: La cota final para $\mu(\theta)$ se obtiene tomando el ínfimo sobre $\varepsilon$ y el supremo sobre $\sigma$ del mínimo de estas dos cantidades, sujeto a la restricción de que la densidad de ceros sea suficientemente alta ($A(\sigma) \ge \frac{1}{1-\theta} - \varepsilon$).

Contribuciones Clave

• Teorema 1.2 (Cota General): El artículo establece una fórmula general que relaciona $\mu(\theta)$ con el exponente de densidad de ceros $A(\sigma)$. Esto recupera resultados previos, como la condición para que el TNP se cumpla para todo $x$ ($\theta > 1 - 1/A_0$) y para casi todo $x$ ($\theta > 1 - 2/A_0$).
• Teorema 1.3 (Cota Refinada): La contribución teórica principal es la inclusión del exponente de energía aditiva $A^*(\sigma)$. Los autores demuestran que $\mu(\theta)$ está acotado por el mínimo de las cotas derivadas del segundo momento y del cuarto momento. Este refinamiento permite restricciones más estrictas sobre el conjunto excepcional, particularmente en rangos donde $A^*(\sigma)$ es significativamente menor que $3A(\sigma)$.
• Relación Explícita con Estimaciones Recientes: Los autores proporcionan un marco para aplicar directamente las estimaciones más recientes de densidad de ceros (específicamente las de Guth y Maynard, y Tao–Trudgian–Yang) para acotar el conjunto excepcional. Esto se logra mediante una combinación de derivación analítica y evaluación numérica asistida por computadora.

Resultados

• Cotas Incondicionales: Utilizando las mejores cotas incondicionales actuales para $A(\sigma)$ y $A^*(\sigma)$ (resumidas en las Tablas 1 y 2), los autores calculan cotas superiores explícitas para $\mu(\theta)$.
  • Para $\theta > 17/30$, el conjunto excepcional está vacío (el TNP se cumple para todo $x$).
  • Para $\theta > 2/15$, el conjunto excepcional tiene densidad cero.
  • En el rango intermedio, el artículo proporciona cotas numéricas específicas. Por ejemplo, en $\theta = 17/30$, muestran que $\mu(17/30) \le 7/12$.
• Comparación con Trabajo Previo: Los autores señalan que su método recupera las cotas de Bazzanella y Perelli pero las mejora en ciertos rangos al utilizar las estimaciones de energía aditiva. Declaran explícitamente que no pudieron replicar una afirmación específica en un trabajo anterior (Bazzanella [4]) respecto al rango $1/6 < \theta \le 1/2$, identificando una brecha en el argumento previo relacionada con la estimación de densidad de Jutila.
• Escenarios Hipotéticos: El artículo analiza las cotas bajo la Hipótesis de Densidad (DH), la Hipótesis de Lindelöf (LH) y la Hipótesis de Riemann (HR). Bajo HR, $\mu(\theta) = -\infty$ para $\theta > 1/2$. Bajo DH, las cotas mejoran significativamente, aunque los autores notan que para ciertos $\theta$, las cotas incondicionales están sorprendentemente cerca de las que asumen DH.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar la "relación más explícita" entre las estimaciones de densidad de ceros y las cotas del conjunto excepcional hasta la fecha. Su significado radica en:

1. Marco Unificador: Crea un método sistemático para traducir cualquier mejora en las estimaciones de densidad de ceros (ya sea $A(\sigma)$ o $A^*(\sigma)$) directamente en cotas mejoradas para el conjunto excepcional del TNP en intervalos cortos.
2. Utilización de la Energía Aditiva: Al incorporar explícitamente la energía aditiva de los ceros ($A^*(\sigma)$), los autores demuestran que las estimaciones del cuarto momento son necesarias para obtener las cotas incondicionales más agudas conocidas, recuperando y refinando resultados que dependían de estimaciones de densidad más antiguas y menos precisas.
3. Verificación Computacional: Los autores enfatizan que sus cotas teóricas son inmediatamente aplicables mediante asistencia computacional, permitiendo la aplicación directa de los últimos resultados (por ejemplo, Guth–Maynard) sin requerir nueva maquinaria analítica para el conjunto excepcional en sí mismo.

Los autores permanecen modestos, señalando que las fórmulas exactas para las cotas son complejas y probablemente serán superadas a medida que se demuestren nuevas estimaciones de densidad de ceros. No afirman resolver el TNP en intervalos cortos para $\theta \le 2/15$, sino que proporcionan la descripción cuantitativa mejor conocida de las excepciones en el rango actualmente accesible.