QCD corrections to charged-current decays with Heavy Sterile Neutrinos in initial or final state and their impact on $\tau$ decays

技术摘要：带重型惰性中微子的带电流衰变中的 QCD 校正

问题与动机
重型惰性中微子（HSNs），也称为重型中性轻子（Heavy Neutral Leptons），是解决中微子质量、轻子生成（leptogenesis）和暗物质等问题的、具有良好理论动机的标准模型（SM）扩展。在极简情景下，HSNs ($N$) 仅通过与活性中微子 ($\nu_\ell$) 的混合进行相互作用，这种混合由混合角 $\theta$ 参数化（其中 $V_{N\ell} = \sin \theta$）。搜寻 HSNs 以及对实验限制的解释，高度依赖于对分支比和寿命的精确预测。

当 HSNs 足以衰变为半强子末态（$N \to \ell + \text{hadrons}$）时，会出现一个关键挑战。在这种情况下，计算包含性衰变率需要使用摄动量子色动力学（perturbative QCD）。然而，摄动论的有效性取决于 HSN 的质量 ($m_N$)。如果强子系统的不变质量过小（接近共振区），或者 $m_N$ 恰好在重介子（如 $D$ 或 $B$ 介子）阈值之上，非摄动效应将占据主导地位，使得标准的摄动计算变得不可靠。本文旨在确定在哪些质量范围内，摄动 QCD 能为包含性 HSN 衰变宽度提供稳健的预测，并将这些结果应用于利用 $\tau$ 轻子数据来约束 $N-\nu_\tau$ 混合角。

方法论
作者采用了 HSN 仅通过 $N-\nu_\ell$ 混合进行相互作用的情景。计算分为两个主要阶段：

1. 理论框架：

   • 包含性衰变宽度 $\Gamma(N \to \ell + \text{hadrons})$ 通过衰变粒子的自能虚部通过光学定理（optical theorem）进行关联。
   • 非平凡的 QCD 动力学被编码在两个带电夸克流的关联函数 ($\Pi^{(1+0)}_{V/A}$) 中。作者利用了现有文献中关于这些关联函数的结果，这些结果已计算至强耦合常数 $\alpha_s$ 的四阶（即底层规范玻色子关联函数的五圈水平）。
   • 作者针对末态轻子为 $\tau$ 的特殊情况（$N \to \tau + \text{hadrons}$）进行了新的计算，考虑了非零 $\tau$ 质量（$m_\tau \neq 0$）的影响。这涉及推导关于质量比 $m_\tau/m_N$ 的新型解析相空间积分表达式。
   • 结果使用多重对数函数（最高至 $\mathcal{O}(\alpha_s^3)$）以及收敛级数表示法（对于 $\mathcal{O}(\alpha_s^4)$）进行表达。
   • 分析采用了轻夸克的手征极限（chiral limit），并假设 $q^2 \gg m_q^2$ 以保证摄动展开的有效性。

2. 数值分析与稳定性检查：

   • 作者通过检查衰变宽度对非物理重整化标度 $\mu$ 的依赖性，来分析摄动级数的收敛性。
   • 他们比较了不同 $\alpha_s$ 阶数的衰变宽度，以识别在哪些质量范围内高阶校正会使预测趋于稳定（即标度依赖性降低）。
   • 研究涵盖了 $N \to \ell + \text{hadrons}$（对于 $m_N > m_\ell$）以及逆过程 $\tau \to N + \text{hadrons}$（对于 $m_N < m_\tau$）。

核心贡献

• 新型解析结果： 本文给出了衰变率 $\Gamma(N \to \tau + \text{hadrons})$ 和 $\Gamma(\tau \to N + \text{hadrons})$ 的新闭合形式解析结果，明确包含了对 $\tau$ 衰变至关重要的轻子质量效应。
• 摄动有效性范围： 通过分析高达 $\mathcal{O}(\alpha_s^4)$ 的标度依赖性和级数收敛性，作者确定了摄动 QCD 可靠的特定质量窗口：
  • 对于末态轻子 $e$ 或 $\mu$：对于 $m_N \gtrsim 1.5$ GeV，可以获得可靠预测。
  • 对于末态轻子 $\tau$：由于较大的相空间抑制和 $\tau$ 质量带来的运动学效应，可靠预测需要 $m_N \gtrsim 3$ GeV。
  • 对于 $\tau \to N + \text{hadrons}$（其中 $N$ 在 $\tau$ 衰变中产生）：研究发现摄动级数在 $m_N \lesssim 600$ MeV 时是稳定的。
• 混合角约束： 作者利用其结果，结合当前的 $\tau$ 寿命和分支比实验数据，对混合角 $\theta_{N\tau}$ 进行了约束。

结果

• 摄动级数质量： 研究证实，对于 $m_N \approx 1.5$ GeV（针对 $e/\mu$）和 $m_N \approx 3$ GeV（针对 $\tau$），引入 $\mathcal{O}(\alpha_s^4)$ 校正显著降低了重整化标度依赖性，验证了使用摄动 QCD 的合理性。相反，在 $m_N \in [m_\mu + m_D, 3 \text{ GeV}]$ 区域，非摄动粲共振效应占主导，使得摄动预测不可靠。
• 来自 $\tau$ 寿命的约束：
  • 对于 $m_N \lesssim 600$ MeV，作者基于 $\tau$ 寿命推导了对 $|\sin \theta|$ 的约束。他们发现对于 $m_N = 600$ MeV，$|\sin \theta| \le 0.2$，对于更轻的 $N$，约束较弱。
  • 对于 $m_N \ge m_\tau$，衰变率取决于 $\cos \theta$。利用 $\tau$ 寿命，他们在 $1\sigma$ 水平下推导出 $|\sin \theta| \le 0.12$。
• 来自分支比的约束：
  • 通过分析半强子衰变 $\tau \to \pi^- \nu_\tau$ 和 $\tau \to K^- \nu_\tau$，作者发现数据允许存在非零的混合角。
  • 结合 $\tau \to \pi^- \nu_\tau$ 和 $\tau \to K^- \nu_\tau$ 数据，得到在 $1\sigma$ 水平下的 $|\sin \theta| = (9.1^{+3.7}_{-7.8}) \cdot 10^{-2}$。
  • 轻子衰变（$\tau \to \ell \bar{\nu}_\ell \nu_\tau$）目前的中心值略高于标准模型预测。虽然这可能意味着存在非零的混合角，但作者指出，这也可能是由于衰变为暗部门粒子（$X_{\text{dark}}$）引起的。
• 谱分布： 本文提供了 $\tau \to \ell \nu_\ell N$ 的带电轻子能量谱以及 $\tau \to N + \text{hadrons}$ 的强子不变质量谱的表达式，为未来通过谱畸变探测 HSNs 提供了工具。

意义与主张
本文声称提供了在摄动区间内对包含性 HSN 衰变宽度进行稳健预测所需的必要理论工具，填补了关于 $\tau$ 相关通道特定运动学研究的文献空白。

• 稳健性： 作者强调，其结果定义了理论不确定性受控的质量范围，这对于解释 HSN 的实验限制至关重要。
• 模型无关性： 与依赖于特定 HSN 衰变模式（如 DELPHI 或 CMS 等对撞机实验）的实验相比，作者提出的基于 $\tau$ 寿命和半强子分支比的约束被认为是更具模型无关性的。作者指出，如果 HSN 衰变为暗部门粒子，依赖于可见 HSN 衰变的实验限制将会减弱，而基于 $\tau$ 的约束仍然有效，因为它们依赖于总宽度的改变。
• 实验意义： 作者指出，当前观测到 $\Gamma(\tau \to \ell + \text{nothing})$ 比标准模型预测高出约 $1\sigma$ 的现象，值得进一步的实验调查，以便区分是 HSN 混合还是向暗部门粒子的衰变。他们并非声称发现了 HSN，而是强调了数据中的这种张力，这可以激发额外的实验努力。

总之，这项工作为利用包含性半强子衰变来探测重型惰性中微子奠定了理论基础，划定了摄动 QCD 在此背景下的适用界限，并利用精密 $\tau$ 数据更新了对 $N-\nu_\tau$ 混合角的约束。