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Analytical continuation of Euler prime product for $\Re(s)>\tfrac{1}{2}$ assuming (RH)

该论文在假设黎曼猜想成立的前提下，通过引入新因子将欧拉素数乘积解析延拓至 $\Re(s)>\tfrac{1}{2}$ 区域，并探讨了如何由此恢复默滕斯第三定理、推广至其他类似乘积以及利用 Pari/GP 进行数值验证。

原作者： Artur Kawalec

发布于 2026-04-01

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原作者： Artur Kawalec

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇论文讲述了一个关于数学中“素数”（质数）和“黎曼 $\zeta$ 函数”之间关系的有趣故事。为了让你更容易理解，我们可以把这篇论文的核心思想想象成修补一张破旧的地图或者给一个断掉的梯子接上一段新台阶。

以下是用通俗语言和比喻对这篇论文的解读：

1. 背景：完美的地图与断裂的梯子

想象一下，数学家们手里有一张描绘“素数世界”的地图，这张地图由一个叫欧拉乘积公式的公式绘制而成。

原来的地图（ $\Re(s) > 1$ ）： 在地图的右侧区域（实部大于 1），这张地图非常完美、清晰，所有的路都通顺。这就像是一个坚固的梯子，你可以稳稳地爬上去。
断裂处（ $\Re(s) = 1$ ）： 但是，当你走到地图的中间线（实部等于 1）时，梯子突然断了。在这个点，公式会“爆炸”（发散），无法计算。
未知的深渊（ $0.5 < \Re(s) < 1$ ）： 在断裂线的左侧，也就是我们最关心的“临界带”区域，原来的梯子完全失效了。数学家们一直想知道：如果我们假设**黎曼猜想（RH）**是正确的（这就像假设地图的底层结构是稳固的），我们能不能修好这段路，让梯子延伸到左边？

2. 核心发现：神奇的“胶水”

作者 Artur Kawalec 在这篇论文中提出了一种新方法，就像找到了一种神奇的“数学胶水”，可以把断裂的梯子接起来，一直延伸到左侧的深渊。

问题出在哪？
作者发现，原来的梯子之所以在左边断掉，是因为其中一部分零件（素数求和项 $P(s)$ ）在左边“坏”了。
解决方案：
作者引入了一个新的因子，一个叫做**指数积分（Exponential Integral, $E_1$ $E_{1}$ ）**的数学函数。
- 比喻： 想象原来的梯子缺了一截。作者没有试图重新造梯子，而是拿了一块特制的“补丁”（ $E_1$ 因子），把它贴在断裂处。
- 效果： 只要假设黎曼猜想成立，贴上这个补丁后，原本在左边失效的公式突然又能工作了！它不仅能算出左边的值，还能完美地还原出黎曼 $\zeta$ 函数的真实面貌。

3. 验证：回到原点（ $s=1$ ）

为了证明这个“补丁”不是乱贴的，作者做了一个测试：把它贴回原来的断裂点（ $s=1$ ）。

结果： 当公式回到 $s=1$ 时，这个新公式神奇地自动变回了著名的梅滕斯第三定理（Mertens's 3rd Theorem）。
意义： 这就像是你用新胶水修好梯子后，发现梯子不仅延伸到了左边，而且原来的接口处依然严丝合缝，完全符合已知的物理定律。这证明了作者的修补方法是靠谱的。

4. 举一反三：还能修补别的吗？

作者不仅修补了主梯子，还发现这个“胶水”很万能。

他尝试用同样的方法去修补倒数 $\zeta$ 函数（涉及莫比乌斯函数）和另一个变体公式。
比喻： 就像发现了一种通用的万能胶，不仅能修主梯子，还能修旁边类似的脚手架。只要假设黎曼猜想成立，这些原本在左边断掉的数学结构，都能被重新连接起来。

5. 电脑实验：眼见为实

最后，作者没有只停留在理论上，他写了一段电脑代码（在 Pari/GP 软件中运行），进行了实际的“压力测试”。

实验过程： 他让电脑计算这个新公式，并把它和标准的 $\zeta$ 函数画在一张图上。
观察结果：
- 在安全区域（右边），两者完全重合。
- 在危险区域（左边，靠近 0.5），起初因为“补丁”还没完全干透（计算项数 $x$ 不够大），线条会有点抖动（振荡）。
- 关键发现： 随着电脑计算的项数越来越多（ $x$ 趋向无穷大），那些抖动慢慢消失了，新公式的曲线完美地贴合上了标准的 $\zeta$ 函数曲线。

总结

这篇论文就像是一个数学工程师的维修报告：

发现问题： 欧拉乘积公式在素数分布最神秘的区域（$0.5 $到$ 1$ 之间）失效了。
提出方案： 假设黎曼猜想是对的，我们只需要加一个特定的数学“补丁”（指数积分项）。
验证成功： 这个补丁不仅能让公式在左边工作，还能在边界处完美还原旧理论，并且通过电脑模拟证实了它的准确性。

一句话概括： 作者利用黎曼猜想作为“地基”，通过添加一个巧妙的数学修正项，成功地将描述素数分布的公式从安全区延伸到了神秘的临界带，让数学家们能更清晰地“看见”素数在临界线附近的行踪。

以下是基于 Artur Kawalec 论文《Analytical continuation of Euler prime product for ℜ(s) > 1/2 assuming (RH)》的详细技术总结：

1. 研究问题 (Problem)

黎曼 $\zeta$ 函数通常通过欧拉乘积公式定义：
$\zeta(s) = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$
该公式仅在实部 $\Re(s) > 1$ 时绝对收敛。在 $\Re(s) \le 1$ 的区域（特别是临界带 $1/2 < \Re(s) \le 1$ ），欧拉乘积直接发散或不再收敛，导致无法直接通过素数乘积形式计算 $\zeta(s)$ 。

核心难点：素数 zeta 函数 $P(s) = \sum_p p^{-s}$ 仅在 $\Re(s) > 1$ 收敛，限制了欧拉乘积向 $\Re(s) > 1/2$ 的解析延拓。
目标：在假设黎曼猜想（Riemann Hypothesis, RH）成立的前提下，寻找一种方法，通过引入修正因子，将欧拉乘积的解析延拓范围从 $\Re(s) > 1$ 扩展到 $\Re(s) > 1/2$ （ $s \neq 1$ ）。

2. 方法论 (Methodology)

作者采用了对数展开与渐近分析相结合的方法：

对数分解：
将 $\log \zeta(s)$ 展开为素数 zeta 函数 $P(s)$ 的级数：
$\log \zeta(s) = P(s) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{P(ns)}{n}$
分析发现，第二项级数在 $\Re(s) > 1/2$ 时收敛，限制收敛性的唯一瓶颈是 $P(s)$ 项（仅在 $\Re(s) > 1$ 收敛）。
引入指数积分修正因子：
利用作者之前的研究成果，指出 $P(s)$ 的部分和可以通过引入指数积分 $E_1(z)$ 进行延拓：
$P(s) \approx \sum_{p \le x} \frac{1}{p^s} + E_1[(s-1)\log x]$
其中 $E_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt$ 。
构造修正后的欧拉乘积：
通过在部分欧拉乘积前乘以一个指数修正项 $e^{E_1[(s-1)\log x]}$ ，抵消 $P(s)$ 发散的部分。
最终得到延拓公式：
$\zeta(s) = \lim_{x \to \infty} e^{E_1[(s-1)\log x]} \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$
该公式在假设 RH 成立的情况下，对 $\Re(s) > 1/2$ 且 $s \neq 1$ 有效。

3. 主要贡献 (Key Contributions)

定理 1 的提出：证明了在假设 RH 成立的前提下，通过引入指数积分因子，欧拉乘积可以解析延拓至临界带 $\Re(s) > 1/2$ 。
梅滕斯第三定理的恢复：展示了当 $s \to 1$ 时，该修正公式如何自然退化为梅滕斯第三定理（Mertens's 3rd Theorem），即 $\prod_{p \le x} (1 - 1/p)^{-1} \sim e^\gamma \log x$ ，验证了理论在极点处的自洽性。
推广性应用：将同一技术应用于其他相关欧拉乘积，包括：
- 黎曼 $\zeta$ 函数的倒数 $1/\zeta(s)$ （涉及莫比乌斯函数）。
- 比值 $\zeta(2s)/\zeta(s)$ 。
  证明了这些函数同样可以通过类似的指数修正因子延拓至 $\Re(s) > 1/2$ 。
数值验证工具：提供了 Pari/GP 脚本，用于数值计算并验证修正后的欧拉乘积与标准 $\zeta$ 函数的一致性。

4. 结果 (Results)

理论结果：成功构建了 $\zeta(s)$ 在 $\Re(s) > 1/2$ 区域的欧拉乘积表示形式。该表示形式在 $s=1$ 处有一个极点，在假设 RH 下，其分支切割位于 $(1/2, 1]$ 。
数值验证：
- 图 1：在 $0.5 < \Re(s) < 2$ 范围内，修正后的欧拉乘积（红色虚线）与标准 $\zeta$ 函数（蓝色实线）完美重合。
- 图 2：在 $\sigma = 0.8$ 的垂直线上，模值匹配度极高。
- 图 3 & 4：在接近临界线 $\sigma = 0.55$ 处，当截断上限 $x$ 较小时（如 $10^3$ ），观察到轻微振荡；但随着 $x$ 增大（如 $10^5$ ），振荡平滑并收敛于 $\zeta$ 函数。这表明收敛速度在临界线附近变慢，但极限行为正确。

5. 意义与影响 (Significance)

理论深度：该工作揭示了素数分布（通过 $P(s)$ ）与 $\zeta$ 函数解析性质之间的深层联系，特别是量化了 $P(s)$ 在 $\Re(s) \le 1$ 时的渐近行为。
计算价值：提供了一种新的计算 $\zeta$ 函数在临界带内数值的方法。虽然目前受限于 $x$ 的大小导致收敛较慢（特别是在 $\Re(s) \approx 1/2$ 时），但这为理解欧拉乘积在临界区域的行为提供了新的视角。
对黎曼猜想的关联：该延拓公式的有效性依赖于黎曼猜想（RH）的假设。如果 RH 不成立，该公式中的误差项 $O(x^{1/2-s}\log x)$ 可能无法控制，导致延拓失败。因此，这也为通过数值实验检验 RH 提供了一种潜在的（尽管是间接的）途径。
统一性：展示了处理不同欧拉乘积（ $\zeta, 1/\zeta, \zeta(2s)/\zeta(s)$ ）的统一框架，即通过指数积分修正 $P(s)$ 的截断误差。

总结：Artur Kawalec 的这篇论文通过引入指数积分 $E_1$ 作为修正因子，在假设黎曼猜想成立的前提下，成功地将欧拉乘积的解析域从 $\Re(s)>1$ 扩展到了 $\Re(s)>1/2$ 。这不仅恢复了梅滕斯定理，还为在临界带内通过素数乘积直接计算 $\zeta$ 函数提供了理论依据和数值验证方案。