🔢 mathematics

Analytical continuation of Euler prime product for $\Re(s)>\tfrac{1}{2}$ assuming (RH)

Dit artikel beschrijft, onder de aanname van de Riemann-hypothese, een analytische voortzetting van het Euler-product voor priemgetallen naar het gebied $\Re(s)>\tfrac{1}{2}$ door de invoering van een nieuwe factor, waarbij ook de herleiding van Mertens' derde stelling en numerieke verificatie via Pari/GP worden behandeld.

Oorspronkelijke auteurs: Artur Kawalec

Gepubliceerd 2026-04-01

📖 4 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Artur Kawalec

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De Grote Wiskundige Puzzel: Hoe je de "Priemgetallen-motor" verder laat draaien

Stel je voor dat de wiskunde een enorme machine is, en het Riemann-zeta-functie ( $\zeta(s)$ ) is de motor die alles aandrijft. Deze motor is onmisbaar voor het begrijpen van priemgetallen (2, 3, 5, 7, 11...), de bouwstenen van alle getallen.

1. Het Probleem: De Motor stopt halverwege

In de wiskunde hebben we een beroemde formule, de Euler-productformule. Je kunt je dit voorstellen als een kettingreactie van tandwielen. Als je deze tandwielen (de priemgetallen) aan elkaar koppelt, krijg je de motor die draait.

De regel: Deze formule werkt perfect zolang je in een veilig gebied blijft, namelijk waar het getal $s$ groter is dan 1 ( $\Re(s) > 1$ ).
Het probleem: Zodra je probeert de motor verder te laten draaien naar het gebied tussen 0,5 en 1, breekt de ketting. De formule "ontploft" of stopt met werken. Het is alsof je probeert een auto te rijden, maar de motor stopt precies op het moment dat je de snelweg op wilt.

Wiskundigen weten dat de motor eigenlijk wel verder moet kunnen draaien (tot aan de lijn 0,5), maar de standaardformule van Euler kan dat niet.

2. De Oplossing: Een "Startmotor" of "Brandstoftank"

Artur Kawalec, de schrijver van dit paper, heeft een slimme oplossing bedacht. Hij zegt: "Waarom breken we de formule niet aan met een extra hulpmiddel?"

Hij introduceert een nieuwe factor (een wiskundige term genaamd de exponentiële integraal, $E_1$ ).

De Metafoor: Stel je voor dat de Euler-formule een auto is die vastloopt op een steile helling. Kawalec plakt een startmotor of een extra brandstoftank op de auto.
Zolang je in het veilige gebied zit ( $>1$ ), heb je deze tank niet nodig.
Maar zodra je de helling oprijdt (tussen 0,5 en 1), zorgt deze extra tank ervoor dat de motor blijft draaien en de formule weer werkt.

Dit is wat het paper doet: het analytisch voortzetten. Het maakt de formule bruikbaar in een gebied waar hij voorheen dood was, onder de voorwaarde dat de beroemde "Riemann-hypothese" waar is. (De Riemann-hypothese is als een wet in de natuurkunde die zegt: "De motor werkt alleen als de brandstofzuiverheid perfect is". Als die waar is, werkt Kawalec's startmotor perfect).

3. Wat gebeurt er op de rand? (Het punt $s=1$ )

Er is een speciaal punt, $s=1$ , waar de motor helemaal uitvalt (een "pool"). Hier is de formule oneindig groot.

Kawalec laat zien dat als je zijn nieuwe formule gebruikt precies bij dit punt, je terugkomt bij een oude, bekende wet van de wiskunde: de Stelling van Mertens.
De Analogie: Het is alsof je een nieuwe, geavanceerde navigatie app gebruikt. Als je precies op de stadskern (het punt $s=1$ ) aankomt, geeft je app niet alleen de route, maar bevestigt hij ook dat de oude, handgetekende kaart (Mertens) die we al honderden jaren hebben, klopt. Het bewijst dat zijn nieuwe methode betrouwbaar is.

4. Kan dit ook voor andere machines?

Ja! Kawalec laat zien dat je deze truc (de extra brandstoftank) kunt gebruiken voor andere, vergelijkbare wiskundige formules.

Bijvoorbeeld voor de omgekeerde zeta-functie (waar de motor in de andere richting draait).
Of voor combinaties van zeta-functies.
Het idee is altijd hetzelfde: de standaardformule breekt ergens, maar met de juiste "correctie" kun je hem verder laten werken.

5. De Test: De Computer als Proefkonijn

In het laatste deel van het paper doet Kawalec wat wiskundigen het liefst doen: testen.

Hij schrijft een computerprogramma (in een taal genaamd Pari/GP).
Hij laat de computer de oude formule en zijn nieuwe formule met de "startmotor" naast elkaar zetten.
Het resultaat: Ze zien eruit als twee lijnen die perfect over elkaar heen lopen.
De nuance: Als je heel dicht bij de gevaarlijke lijn (0,5) komt, beginnen de lijnen een beetje te trillen (oscilleren). Maar Kawalec laat zien dat als je de computer meer rekenkracht geeft (door meer priemgetallen te gebruiken), die trillingen wegwerken en de lijnen weer perfect samenvallen.

Samenvatting in één zin

Dit paper is als het vinden van een universale sleutel die de deur naar een verborgen wiskundige wereld (tussen 0,5 en 1) opent, door een slimme extra term toe te voegen aan de oude formule, waardoor we de mysterieuze verbanden tussen priemgetallen eindelijk kunnen bestuderen in gebieden waar dat voorheen onmogelijk leek.

Titel en Context

Het artikel presenteert een methode om het Euler-product voor de Riemann-zetafunctie analytisch door te zetten naar het domein $\Re(s) > 1/2$ (behalve bij de pool $s=1$ ), onder de veronderstelling dat de Riemann-hypothese (RH) waar is.

1. Het Probleem

De Riemann-zetafunctie $\zeta(s)$ wordt gedefinieerd door het Euler-product over priemgetallen:
$\zeta(s) = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$
Dit product convergeert absoluut alleen voor $\Re(s) > 1$ . Voor $\Re(s) \leq 1$ divergeert het product, hoewel de functie $\zeta(s)$ zelf analytisch door te zetten is naar het gehele complexe vlak (behalve $s=1$ ).

De kern van het probleem ligt in de priem-zetafunctie $P(s) = \sum_p p^{-s}$ .

Het logaritme van het Euler-product leidt tot een reeks die afhankelijk is van $P(s)$ .
$P(s)$ convergeert alleen voor $\Re(s) > 1$ .
De resterende termen in de logaritmische expansie convergeren wel voor $\Re(s) > 1/2$ .
De beperkende factor voor de convergentie van het Euler-product tot het gebied $1/2 < \Re(s) < 1$ is dus specifiek het gedrag van $P(s)$ .

2. Methodologie

De auteur lost dit convergentieprobleem op door een correctiefactor toe te voegen aan het gedeeltelijke Euler-product.

Analyse van $P(s)$ : Op basis van eerdere werk van de auteur en onder de aanname van de Riemann-hypothese (RH), kan $P(s)$ worden benaderd door een som over priemgetallen tot $x$ plus een correctieterm die de asymptotische fout weergeeft. Deze correctieterm wordt uitgedrukt met de exponentiële integraal $E_1(z)$ .
$P(s) \approx \sum_{p \leq x} \frac{1}{p^s} + E_1[(s-1)\log x] + O(x^{1/2-s}\log x)$
Invoering van de Correctiefactor: De auteur stelt dat door de exponentiële integraal $E_1[(s-1)\log x]$ als een extra factor toe te voegen aan het product, de divergentie van $P(s)$ wordt gecompenseerd.
De Nieuwe Formule: De analytische voortzetting wordt gegeven door:
$\zeta(s) = \lim_{x \to \infty} e^{E_1[(s-1)\log x]} \prod_{p \leq x} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$
Deze formule is geldig voor $\Re(s) > 1/2$ (met $s \neq 1$ ), mits de RH waar is.

3. Belangrijkste Bijdragen

Analytische voortzetting van het Euler-product: Het artikel biedt een expliciete constructie om het Euler-product direct te gebruiken in het kritieke gebied ( $1/2 < \Re(s) < 1$ ), wat normaal gesproken niet mogelijk is zonder de standaard analytische voortzetting van $\zeta(s)$ via de functionale vergelijking.
Herstel van Mertens' 3e Stelling: De methode wordt getoetst bij $s=1$ . Door de limiet $s \to 1$ te nemen en de reeksontwikkeling van $E_1(z)$ te gebruiken, leidt de formule automatisch tot Mertens' 3e stelling:
$\prod_{p \leq x} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} \sim e^\gamma \log x$
Dit bevestigt de consistentie van de nieuwe benadering met bekende asymptotische resultaten.
Generalisatie naar andere producten: De techniek wordt toegepast op verwante Euler-producten:
- De reciproque van de zetafunctie: $1/\zeta(s) = \prod (1 - p^{-s})$ .
- Het product $\zeta(2s)/\zeta(s) = \prod (1 + p^{-s})^{-1}$ .
  Voor beide wordt een vergelijkbare correctiefactor (met een negatief teken voor de exponentiële integraal) afgeleid om de convergentie naar $\Re(s) > 1/2$ te verlengen.
Numerieke verificatie: De auteur heeft een script geschreven in Pari/GP om de formule numeriek te testen.
- Vergelijkingen tussen de standaard $\zeta(s)$ en de berekende Euler-producten tonen een perfecte match voor $\Re(s) > 0.5$ .
- Nabij de kritieke lijn ( $\Re(s) = 0.55$ ) treden oscillaties op bij kleine waarden van $x$ , maar deze gladden uit naarmate $x$ toeneemt, wat de convergentie bevestigt.

4. Resultaten

De formule (3) in het artikel is numeriek gevalideerd voor $\Re(s)$ tussen 0.5 en 2.
Grafische weergaven tonen dat de analytisch voortgezette Euler-producten (rode stippellijn) samenvallen met de echte Riemann-zetafunctie (blauwe lijn).
De oscillaties die optreden dicht bij de kritieke lijn ( $\Re(s) = 0.5$ ) worden kleiner naarmate het aantal priemgetallen ( $x$ ) in het product toeneemt, wat suggereert dat de limiet $x \to \infty$ de exacte waarde oplevert.

5. Significatie

Dit werk is significant omdat het een directe link legt tussen de discrete structuur van priemgetallen (via het Euler-product) en de analytische eigenschappen van $\zeta(s)$ in het kritieke gebied, zonder gebruik te maken van de traditionele functionele vergelijking.

Het biedt een nieuw perspectief op hoe de Riemann-hypothese de convergentie van priemproducten beïnvloedt.
Het toont aan dat de divergentie van het Euler-product in het gebied $1/2 < \Re(s) < 1$ puur een artefact is van de asymptotische benadering van de priemverdeling, en dat deze kan worden gecorrigeerd met een specifieke wiskundige term ( $E_1$ ).
Het biedt een praktische numerieke methode om $\zeta(s)$ te benaderen in het kritieke gebied uitsluitend op basis van priemgetallen, wat theoretisch interessant is voor onderzoek naar de verdeling van priemgetallen en de Riemann-hypothese.

Conclusie: Onder de aanname van de Riemann-hypothese, stelt deze paper een nieuwe, correcte vorm van het Euler-product voor dat geldig is voor $\Re(s) > 1/2$ , en bewijst dat deze methode consistent is met bestaande theorema's en numeriek accuraat is.