Analytical continuation of Euler prime product for $\Re(s)>\tfrac{1}{2}$ assuming (RH)

Resumen Técnico: Continuación Analítica del Producto de Primos de Euler

1. Planteamiento del Problema

El producto de Euler para la función zeta de Riemann, definido como $\zeta(s) = \prod_p (1 - p^{-s})^{-1}$, es absolutamente convergente únicamente para $\Re(s) > 1$. En esta región, la convergencia garantiza que la función zeta no tiene ceros. Sin embargo, el producto diverge en $s=1$ y su validez directa se pierde en la banda crítica $1/2 < \Re(s) \leq 1$.

El objetivo del artículo es extender la validez de este producto de Euler hasta la línea crítica $\Re(s) > 1/2$ (excluyendo el polo en $s=1$), asumiendo la Hipótesis de Riemann (RH). El autor busca superar la barrera de convergencia impuesta por la función zeta de los primos, $P(s) = \sum p^{-s}$, que solo converge para $\Re(s) > 1$.

2. Metodología

La metodología se basa en un análisis de la serie logarítmica del producto de Euler y la introducción de un factor correctivo exponencial.

• Análisis de la Convergencia:
  Al tomar el logaritmo del producto de Euler, se obtiene:
  $$\log \zeta(s) = P(s) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{P(ns)}{n}$$
  El autor identifica que la serie secundaria converge para $\Re(s) > 1/2$, pero el término principal $P(s)$ limita la convergencia global a $\Re(s) > 1$.

• Introducción del Factor Correctivo:
  Utilizando resultados previos del autor, se sabe que $P(s)$ puede aproximarse mediante una suma parcial más un término integral exponencial:
  $$P(s) \approx \sum_{p \leq x} p^{-s} + E_1[(s-1)\log x] + O(x^{1/2-s}\log x)$$
  Donde $E_1(z)$ es la integral exponencial definida como $E_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt$.

• Construcción del Producto Continuado:
  Para restaurar la convergencia en la banda crítica, se añade el factor $e^{E_1[(s-1)\log x]}$ al producto parcial de Euler. Esto compensa la divergencia de la suma parcial de los primos, permitiendo que el límite $x \to \infty$ exista en la región más amplia.

3. Contribuciones Clave

• Teorema Principal (Teorema 1):
  Se establece que, asumiendo la Hipótesis de Riemann, la función zeta puede expresarse como:
  $$\zeta(s) = \lim_{x \to \infty} e^{E_1[(s-1)\log x]} \prod_{p \leq x} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$
  Esta fórmula es válida para $\Re(s) > 1/2$ (con $s \neq 1$).

• Recuperación del Teorema 3 de Mertens:
  El autor demuestra que al tomar el límite $s \to 1$ en su fórmula continuada, se recupera naturalmente el comportamiento asintótico conocido del Teorema 3 de Mertens:
  $$\prod_{p \leq x} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} \sim e^\gamma \log x$$
  Esto valida la consistencia de la nueva fórmula con los resultados clásicos en el polo.

• Generalización a Otros Productos de Euler:
  La técnica se aplica exitosamente a otros productos relacionados:

  • La inversa de la función zeta: $1/\zeta(s) = \lim_{x \to \infty} e^{-E_1[(s-1)\log x]} \prod_{p \leq x} (1 - p^{-s})$.
  • El cociente $\zeta(2s)/\zeta(s)$, que se extiende a $\Re(s) > 1/2$.

4. Resultados Numéricos

El autor implementó un script en Pari/GP para verificar la fórmula numéricamente. Los resultados mostraron:

• Coincidencia Perfecta: Para valores de $\Re(s)$ alejados de la línea crítica (ej. $\sigma = 0.8$), el producto continuado coincide casi perfectamente con la función zeta estándar.
• Comportamiento cerca de la Línea Crítica: En $\sigma = 0.55$, se observaron oscilaciones iniciales debido a la convergencia lenta del término de error $O(x^{1/2-s}\log x)$.
• Convergencia Asintótica: Al aumentar el límite de primos $x$ (de $10^3$ a $10^5$), las oscilaciones se suavizaron, confirmando que el límite $x \to \infty$ converge a la función zeta real, incluso cerca de la línea crítica.

5. Significado e Implicaciones

• Puente entre Primos y Zeros: La fórmula ofrece una representación explícita de la función zeta en la banda crítica utilizando únicamente productos sobre números primos, unificando la teoría analítica con la distribución de primos.
• Dependencia de la Hipótesis de Riemann: La validez de la continuación analítica hasta $\Re(s) > 1/2$ depende estrictamente de la RH. Si la RH fuera falsa, el término de error $O(x^{1/2-s}\log x)$ no se comportaría como se espera, y la fórmula podría no converger en esa región.
• Herramienta Computacional: Proporciona un nuevo método numérico para calcular la función zeta en la banda crítica utilizando productos parciales de primos, lo cual podría tener aplicaciones en la verificación numérica de la RH y en la criptografía basada en factorización.

En conclusión, el artículo presenta una extensión elegante del producto de Euler mediante un factor de corrección integral, permitiendo explorar la función zeta más allá de su dominio de convergencia original, siempre que se asuma la Hipótesis de Riemann.