Analytical continuation of Euler prime product for $\Re(s)>\tfrac{1}{2}$ assuming (RH)

Artur Kawalec による論文「Assuming (RH) の下での $\Re(s) > 1/2$ におけるオイラー積の解析接続」の技術的な要約を以下に示します。

1. 問題の定義 (Problem)

リーマン・ゼータ関数 $\zeta(s)$ は、通常、素数 $p$ に対するオイラー積（式 1）として定義されます。
$$\zeta(s) = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$
この積は、実部 $\Re(s) > 1$ の領域で絶対収束します。しかし、$\Re(s) \le 1$ の領域（特に $1/2 < \Re(s) < 1$）では、このオイラー積は収束せず、解析接続が直接は行えません。
従来の研究では、$\Re(s) > 1$ での収束性が制限されており、リーマン予想（RH）が真である場合でも、素数ゼータ関数 $P(s)$ の振る舞いが $\Re(s) > 1$ でのみ収束するため、オイラー積の直接の拡張が困難でした。

2. 手法とアプローチ (Methodology)

著者は、オイラー積の対数をとった際の発散要因を特定し、それを補正する新しい因子を導入することで解析接続を実現しました。

• 発散要因の特定:
  $\log \zeta(s)$ を展開すると、$\sum P(ns)/n$ の形になります。ここで $P(s) = \sum p^{-s}$ は素数ゼータ関数です。$\Re(s) > 1/2$ において、$n \ge 2$ の項は収束しますが、$n=1$ の項である $P(s)$ 自体が $\Re(s) > 1$ でのみ収束します。したがって、$P(s)$ の部分が $\Re(s) > 1/2$ への拡張を阻害しています。
• 補正因子の導入:
  著者は、以前の研究 [5] で示された、$P(s)$ の部分和と指数積分 $E_1$ を用いた漸近展開を利用しました。
  $$P(s) \approx \sum_{p \le x} p^{-s} + E_1[(s-1)\log x]$$
  この関係式に基づき、有限の素数積 $\prod_{p \le x}$ に、指数積分 $E_1$ を用いた補正因子 $e^{E_1[(s-1)\log x]}$ を乗じることで、$P(s)$ 成分を $\Re(s) > 1/2$ まで拡張可能にしました。
• 解析接続の定式化:
  補正されたオイラー積の極限として、以下の定理を導出しました。
  $$\zeta(s) = \lim_{x \to \infty} e^{E_1[(s-1)\log x]} \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$
  この式は、リーマン予想（RH）を仮定し、$\Re(s) > 1/2$ （ただし $s \neq 1$）で有効です。

3. 主要な貢献 (Key Contributions)

1. 新しい解析接続の定式化:
   リーマン予想を仮定することで、$\Re(s) > 1/2$ の領域（臨界線より右側）において、オイラー積を解析接続する具体的な式（式 3）を初めて提示しました。
2. メルテンスの第 3 定理との整合性:
   $s \to 1$ の極限において、この新しい式がメルテンスの第 3 定理（$\prod_{p \le x} (1-1/p)^{-1} \sim e^\gamma \log x$）を自然に導出することを示しました。これにより、特異点 $s=1$ における振る舞いも理論的に説明可能です。
3. 一般化の可能性:
   同様の手法を、逆ゼータ関数 $1/\zeta(s)$ や $\zeta(2s)/\zeta(s)$ などの他のオイラー積にも適用可能であることを示し、これらの関数も $\Re(s) > 1/2$ まで拡張できることを論じました。
4. 数値的検証:
   Pari/GP 言語を用いたスクリプト（Listing 1）を作成し、数値計算によって理論の妥当性を検証しました。

4. 結果 (Results)

• 数値的一致:
  計算実験（$x = 10^3 \sim 10^6$）により、補正されたオイラー積が元のゼータ関数 $\zeta(s)$ と非常に高い精度で一致することが確認されました。
  • $\Re(s) = 0.8$ の垂直線上では、$t=0$ から $50$ までほぼ完全な一致が見られました。
  • 臨界線に近い $\Re(s) = 0.55$ の場合、$x$ が小さいときは振動が見られましたが、$x$ を $10^5$ まで増やすと振動が平滑化され、ゼータ関数に収束していく様子が確認されました。
• 臨界線近傍の挙動:
  $x \to \infty$ の極限において、臨界線に近い領域での振動が消失し、解析接続が成立することが数値的に裏付けられました。

5. 意義 (Significance)

この研究は、リーマン予想が真であるという仮定の下で、素数とゼータ関数の関係を表す最も基本的な式である「オイラー積」の定義域を、従来の $\Re(s) > 1$ から $\Re(s) > 1/2$ へと大幅に拡張する理論的枠組みを提供しました。

• 理論的意義: 素数分布とゼータ関数の零点の関係を、オイラー積の形式そのもので記述する新たな道を開きました。
• 実用的意義: 数値計算において、$\Re(s) > 1/2$ の領域でゼータ関数を素数積から直接計算する新しいアルゴリズムの基礎となりました。
• 将来的な展望: この手法は、他の類似するオイラー積にも適用可能であり、数論における解析的性質の理解を深めるための強力なツールとなり得ます。

要約すれば、著者は指数積分を用いた巧妙な補正項を導入することで、リーマン予想を仮定すればオイラー積が臨界線より右側全域で有効であることを示し、その数値的妥当性を検証した点に最大の価値があります。