Correction to the article "Global well-posedness and scattering in weighted space for nonlinear Schrödinger equations below the Strauss exponent without gauge-invariance"

技术摘要：关于无规范不变性下低于 Strauss 指数加权空间中非线性薛定谔方程全局适定性与散射问题的修正

问题陈述
本文旨在对作者之前的著作 [3] 进行修正，该著作讨论了在维度 $d=1, 2, 3$ 下，低于 Strauss 指数的加权空间中非线性薛定谔方程（NLS）的全局适定性与散射问题。原论文在证明维度 $d=2$ 和 $d=3$ 的收缩映射性质时存在一个关键错误。

具体而言，错误出现在估计差值项 $\|A_{4,n}(\cdot, v_1) - A_{4,n}(\cdot, v_2)\|_X$ 中，该项属于收缩论证过程。原证明依赖于一个估计式 (1.1)，该式在处理一般非光滑非线性时，隐式地要求非线性指数 $\alpha \geq 3$。然而，原定理中 $\alpha$ 的容许范围在 $d=2$ 时为 $\alpha \in (2, 3)$，在 $d=3$ 时为 $\alpha = 2$。因此，在假设 1.1 的一般条件下，[3] 中引理 3.4 的证明对于这些维度是不完整的，导致其主结果（定理 1.4）在处理非光滑非线性时无法成立。虽然该结果在 $d=1$（此时 $\alpha > 3$）以及 $d=3$ 的光滑非线性情况下仍然成立，但对于一般情况则需要修正。

方法论与重构
为了解决由非线性的时间导数和空间可积性缺失引起的奇异性问题，作者重构了积分方程及其相关的解空间。

1. 积分方程的重构：
   不同于 [3, (1.8)] 中利用涉及 $F_n(v)$ 时间导数的恒等式，作者采用了一种新的恒等式，该恒等式分离出了项 $i\partial_t v - \frac{p^2}{2}v$。这导致了一个修正后的积分方程 (2.1)，其中项 $A_{5,n}(t)$ 被一个新的项 $\tilde{A}_{5,n}(t)$ 所取代。这个新项引入了作用在解上的算子 $L = i\partial_t - \frac{p^2}{2}$，从而能够更直接地处理非线性的时间导数，而无需使用原证明中使用的辅助项 $E(v)$。

2. 解空间的修改：
   作者引入了一个配备了修正范数 $\|\cdot\|_{\tilde{Y}}$ 的新完备度量空间 $\tilde{Z}_M$。一项关键创新是引入了截断权重函数 $\chi_\gamma(x)$，其定义为：当 $|x| \leq 1$ 时为 $|x|^{-\gamma}$，当 $|x| > 1$ 时为 $1$。

   • $\chi_\gamma$ 的目的： 该函数旨在控制由于使用解析算子估计以避免 $t=0$ 时刻的时间奇异性而产生的空间奇异性（在 $x=0$ 处）。
   • 维度特性：
     • 对于 $d=2$，该权重通过施加更强的空间奇异性来处理强时间奇异性，利用解析算子估计和权重将奇异性局部化在 $x=0$ 附近。
     • 对于 $d=3$，该权重解决了空间可积性不足的问题。通过施加空间正则性并利用 Sobolev 嵌入（具体为 $\|f\|_{L^2} \lesssim \|\nabla^{1/2}f\|_{L^{3/2}}$），作者通过 $\chi_{1/2}$ 管理空间奇异性。

3. 收缩映射论证：
   [3] 中的映射 $\Phi$ 被 $\tilde{\Phi}$ 取代。作者证明了对于足够小的 $M$，$\tilde{\Phi}$ 在 $(\tilde{Z}_M, d_{\tilde{Z}})$ 上是一个收缩映射。该证明包括：

   • 利用 Strichartz 估计、Gagliardo-Nirenberg 不等式以及 $\chi_\gamma$ 的性质，建立 $\tilde{\Phi}(v)$ 在 $X$ 和 $\tilde{Y}$ 范数下的有界性估计。
   • 通过估计非线性项的差值，证明收缩性质 $d_{\tilde{Z}}(\tilde{\Phi}(v_1), \tilde{\Phi}(v_2)) \leq \frac{1}{2} d_{\tilde{Z}}(v_1, v_2)$。至关重要的是，度量 $d_{\tilde{Z}}$ 并不包含截断权重 $\chi_\gamma$，这使得估计可以在不出现权重项的情况下闭合。

主要贡献与结果

• 修正引理 3.4 和定理 1.4： 本文提供了一个严格的证明，表明 [3] 的主要结果在假设 1.1 指定的全类非线性（包括 $d=2$ 和 $d=3$ 中的非光滑情形）下均成立。
• 新的分析框架： 引入截断权重 $\chi_\gamma$ 以及通过包含算子 $L$ 来重构积分方程（将其纳入辅助项 $\tilde{A}_{5,n}$）的方法，使作者能够绕过此前限制证明的正则性要求（$\alpha \geq 3$）。
• 命题 2.1： 作者确立了在原定理 1.4 的假设下，映射 $\tilde{\Phi}$ 在新空间 $\tilde{Z}_M$ 上是一个收缩映射，且任何不动点都是原方程 [3, (1.8)] 的解。

意义
本文声称，虽然紧致性论证可能恢复该结果，但有必要在直接的收缩映射框架内建立该定理。通过修正证明中的缺口，作者确保了 [3] 中用于处理分数幂非线性散射解的方法仍然有效且稳健。此次修正通过移除对辅助项 $E(v)$ 的需求简化了论证，并澄清了对时间和空间奇异性的处理方式，从而保证了在 2 维和 3 维中预期参数范围内的全局适定性和散射结果。