Correction to the article "Global well-posedness and scattering in weighted space for nonlinear Schrödinger equations below the Strauss exponent without gauge-invariance"

Résumé Technique : Correction de « Global Well-Posedness and Scattering in Weighted Space for Nonlinear Schrödinger Equations Below the Strauss Exponent Without Gauge-Invariance »

Énoncé du Problème
Cet article sert de correction au travail précédent des auteurs [3], qui traitait du caractère bien posé global et de la diffusion des équations de Schrödinger non linéaires (NLS) dans des espaces pondérés pour les dimensions $d=1, 2, 3$ sous l'exposant de Strauss. L'article original contenait une erreur critique dans la preuve de la propriété de contraction de la application de contraction pour les dimensions $d=2$ et $d=3$.

Plus précisément, l'erreur s'est produite dans l'estimation du terme de différence $\|A_{4,n}(\cdot, v_1) - A_{4,n}(\cdot, v_2)\|_X$ au sein de l'argument de contraction. La preuve originale reposait sur une estimation (1.1) qui nécessitait implicitement que l'exposant de la non-linéarité $\alpha \geq 3$ soit respecté pour des non-linéarités générales non lisses. Cependant, les plages admissibles pour $\alpha$ dans le théorème original étaient $\alpha \in (2, 3)$ pour $d=2$ et $\alpha = 2$ pour $d=3$. Par conséquent, la preuve du Lemme 3.4 dans [3] était incomplète pour ces dimensions sous les hypothèses générales de l'Hypothèse 1.1, rendant le résultat principal (Théorème 1.4) injustifié pour les non-linéarités non lisses en $d=2$ et $d=3$. Bien que le résultat soit vrai pour $d=1$ (où $\alpha > 3$) et pour les non-linéarités lisses en $d=3$, le cas général nécessitait une correction.

Méthodologie et Reformulation
Pour résoudre les problèmes de singularité découlant de la dérivée temporelle de la non-linéarité et du manque d'intégrabilité spatiale, les auteurs reformulent l'équation intégrale et l'espace de solution associé.

1. Reformulation de l'Équation Intégrale :
   Au lieu d'utiliser l'identité impliquant la dérivée temporelle de $F_n(v)$ comme dans [3, (1.8)], les auteurs emploient une nouvelle identité qui isole le terme $i\partial_t v - \frac{p^2}{2}v$. Cela conduit à une équation intégrale modifiée (2.1) où le terme $A_{5,n}(t)$ est remplacé par un nouveau terme $\tilde{A}_{5,n}(t)$. Ce nouveau terme incorpore l'opérateur $L = i\partial_t - \frac{p^2}{2}$ agissant sur la solution, permettant une gestion plus directe de la dérivée temporelle de la non-linéarité sans nécessiter le terme auxiliaire $E(v)$ utilisé dans la preuve originale.

2. Modification de l'Espace de Solution :
   Les auteurs introduisent un nouvel espace métrique complet $\tilde{Z}_M$ équipé d'une norme modifiée $\|\cdot\|_{\tilde{Y}}$. Une innovation clé est l'introduction d'une fonction de poids tronquée $\chi_\gamma(x)$, définie par $|x|^{-\gamma}$ pour $|x| \leq 1$ et $1$ pour $|x| > 1$.

• Objectif de $\chi_\gamma$ : Cette fonction est conçue pour contrôler les singularités spatiales à l'origine ($x=0$) qui surviennent lors de l'utilisation d'estimations de résolvante pour éviter les singularités temporelles à $t=0$.
• Spécificités Dimensionnelles :
  • Pour $d=2$, le poids gère la forte singularité temporelle en imposant une singularité spatiale plus forte, utilisant des estimations de résolvante et le poids pour localiser la singularité près de $x=0$.
  • Pour $d=3$, le poids traite un manque d'intégrabilité spatiale. En imposant une régularité spatiale et en utilisant les injections de Sobolev (spécifiquement $\|f\|_{L^2} \lesssim \|\nabla^{1/2}f\|_{L^{3/2}}$), les auteurs gèrent la singularité spatiale via $\chi_{1/2}$.

3. Argument de Contraction :
   La application $\Phi$ de [3] est remplacée par $\tilde{\Phi}$. Les auteurs prouvent que $\tilde{\Phi}$ est une contraction sur $(\tilde{Z}_M, d_{\tilde{Z}})$ pour un $M$ suffisamment petit. La preuve implique :

• L'établissement d'estimations de bornitude pour $\tilde{\Phi}(v)$ dans les normes $X$ et $\tilde{Y}$, en utilisant les estimations de Strichartz, les inégalités de Gagliardo-Nirenberg, et les propriétés de $\chi_\gamma$.
• La preuve de la propriété de contraction $d_{\tilde{Z}}(\tilde{\Phi}(v_1), \tilde{\Phi}(v_2)) \leq \frac{1}{2} d_{\tilde{Z}}(v_1, v_2)$ en estimant la différence des termes non linéaires. Crucialement, la métrique $d_{\tilde{Z}}$ n'implique pas le poids tronqué $\chi_\gamma$, ce qui permet aux estimations de se fermer sans que le poids n'apparaisse dans le terme de différence.

Contributions Clés et Résultats

• Correction du Lemme 3.4 et du Théorème 1.4 : L'article fournit une preuve rigoureuse que le résultat principal de [3] est valide pour toute la classe de non-linéarités spécifiée dans l'Hypothèse 1.1, incluant les cas non lisses dans les dimensions $d=2$ et $d=3$.
• Nouveau Cadre Analytique : L'introduction du poids tronqué $\chi_\gamma$ et la reformulation de l'équation intégrale pour inclure l'opérateur $L$ directement dans le terme auxiliaire $\tilde{A}_{5,n}$ permettent aux auteurs de contourner les exigences de régularité ($\alpha \geq 3$) qui limitaient auparavant la preuve.
• Proposition 2.1 : Les auteurs établissent que sous les hypothèses du Théorème 1.4 original, la application $\tilde{\Phi}$ est une contraction sur le nouvel espace $\tilde{Z}_M$, et que tout point fixe est une solution à l'équation originale [3, (1.8)].

Signification
L'article soutient que bien qu'un argument de compacité puisse potentiellement récupérer le résultat, il est souhaitable d'établir le théorème dans un cadre de contraction directe. En corrigeant la lacune de la preuve, les auteurs garantissent que la méthode introduite dans [3] pour traiter les solutions de diffusion avec des non-linéarités de puissance fractionnaire reste valide et robuste. La correction simplifie l'argument en supprimant le besoin du terme auxiliaire $E(v)$ et clarifie la gestion des singularités tant dans le temps que dans l'espace, sécurisant ainsi les résultats de bien posé global et de diffusion pour la plage de paramètres prévue dans les dimensions 2 et 3.