Correction to the article "Global well-posedness and scattering in weighted space for nonlinear Schrödinger equations below the Strauss exponent without gauge-invariance"

Resumen Técnico: Corrección de "Global Well-Posedness and Scattering in Weighted Space for Nonlinear Schrödinger Equations Below the Strauss Exponent Without Gauge-Invariance"

Planteamiento del Problema
Este artículo sirve como una corrección al trabajo previo de los autores [3], el cual abordaba la existencia global y la dispersión (scattering) de las ecuaciones de Schrödinger no lineales (NLS) en espacios ponderados para dimensiones $d=1, 2, 3$ por debajo del exponente de Strauss. El artículo original contenía un error crítico en la demostración de la propiedad de mapeo de contracción para las dimensiones $d=2$ y $d=3$.

Específicamente, el error ocurrió en la estimación del término de diferencia $\|A_{4,n}(\cdot, v_1) - A_{4,n}(\cdot, v_2)\|_X$ dentro del argumento de contracción. La demostración original dependía de una estimación (1.1) que requería implícitamente que el exponente de la no linealidad $\alpha \geq 3$ se cumpliera para no linealidades generales no suaves. Sin embargo, los rangos admisibles para $\alpha$ en el teorema original eran $\alpha \in (2, 3)$ para $d=2$ y $\alpha = 2$ para $d=3$. En consecuencia, la demostración para el Lema 3.4 en [3] estaba incompleta para estas dimensiones bajo los supuestos generales de la Suposición 1.1, lo que dejaba sin justificar el resultado principal (Teorema 1.4) para no linealidades no suaves en $d=2$ y $d=3$. Aunque el resultado se mantenía para $d=1$ (donde $\alpha > 3$) y para no linealidades suaves en $d=3$, el caso general requería corrección.

Metodología y Reformulación
Para resolver los problemas de singularidad derivados de la derivada temporal de la no linealidad y la falta de integrabilidad espacial, los autores reformulan la ecuación integral y el espacio de solución asociado.

1. Reformulación de la Ecuación Integral:
   En lugar de utilizar la identidad que involucra la derivada temporal de $F_n(v)$ como en [3, (1.8)], los autores emplean una nueva identidad que aísla el término $i\partial_t v - \frac{p^2}{2}v$. Esto conduce a una ecuación integral modificada (2.1) donde el término $A_{5,n}(t)$ es reemplazado por un nuevo término $\tilde{A}_{5,n}(t)$. Este nuevo término incorpora el operador $L = i\partial_t - \frac{p^2}{2}$ actuando sobre la solución, lo que permite un manejo más directo de la derivada temporal de la no linealidad sin requerir el término auxiliar $E(v)$ utilizado en la prueba original.

2. Modificación del Espacio de Solución:
   Los autores introducen un nuevo espacio métrico completo $\tilde{Z}_M$ equipado con una norma modificada $\|\cdot\|_{\tilde{Y}}$. Una innovación clave es la introducción de una función de peso truncada $\chi_\gamma(x)$, definida como $|x|^{-\gamma}$ para $|x| \leq 1$ y $1$ para $|x| > 1$.

   • Propósito de $\chi_\gamma$: Esta función está diseñada para controlar las singularidades espaciales en el origen ($x=0$) que surgen al utilizar estimaciones de resolvente para evitar las singularidades temporales en $t=0$.
   • Especificidades Dimensionales:
     • Para $d=2$, el peso maneja la fuerte singularidad temporal imponiendo una singularidad espacial más fuerte, utilizando estimaciones de resolvente y el peso para localizar la singularidad cerca de $x=0$.
     • Para $d=3$, el peso aborda la falta de integrabilidad espacial. Al imponer regularidad espacial y utilizar inserciones de Sobolev (específicamente $\|f\|_{L^2} \lesssim \|\nabla^{1/2}f\|_{L^{3/2}}$), los autores gestionan la singularidad espacial mediante $\chi_{1/2}$.

3. Argumento de Mapeo de Contracción:
   El mapa $\Phi$ de [3] es reemplazado por $\tilde{\Phi}$. Los autores demuestran que $\tilde{\Phi}$ es una contracción en $(\tilde{Z}_M, d_{\tilde{Z}})$ para un $M$ suficientemente pequeño. La demostración implica:

   • Establecer estimaciones de acotación para $\tilde{\Phi}(v)$ en las normas $X$ y $\tilde{Y}$, utilizando estimaciones de Strichartz, desigualdades de Gagliardo-Nirenberg y las propiedades de $\chi_\gamma$.
   • Probar la propiedad de contracción $d_{\tilde{Z}}(\tilde{\Phi}(v_1), \tilde{\Phi}(v_2)) \leq \frac{1}{2} d_{\tilde{Z}}(v_1, v_2)$ mediante la estimación de la diferencia de los términos no lineales. Crucialmente, la métrica $d_{\tilde{Z}}$ no involucra el peso truncado $\chi_\gamma$, lo que permite que las estimaciones se cierren sin que el peso aparezca en el término de la diferencia.

Contribuciones Clave y Resultados

• Corrección del Lema 3.4 y el Teorema 1.4: El artículo proporciona una demostración rigurosa de que el resultado principal de [3] se cumple para toda la clase de no linealidades especificadas en la Suposición 1.1, incluyendo los casos no suaves en las dimensiones $d=2$ y $d=3$.
• Nuevo Marco Analítico: La introducción de la función de peso truncada $\chi_\gamma$ y la reformulación de la ecuación integral para incluir el operador $L$ directamente en el término auxiliar $\tilde{A}_{5,n}$ permite a los autores eludir los requisitos de regularidad ($\alpha \geq 3$) que anteriormente limitaban la demostración.
• Proposición 2.1: Los autores establecen que, bajo los supuestos del Teorema 1.4 original, el mapa $\tilde{\Phi}$ es una contracción en el nuevo espacio $\tilde{Z}_M$, y cualquier punto fijo es una solución a la ecuación original [3, (1.8)].

Significancia
El artículo sostiene que, si bien un argumento de compacidad podría potencialmente recuperar el resultado, es deseable establecer el teorema dentro de un marco directo de mapeo de contracción. Al corregir la brecha en la demostración, los autores aseguran que el método introducido en [3] para tratar soluciones de dispersión con no linealidades de potencia fraccionaria siga siendo válido y robusto. La corrección simplifica el argumento al eliminar la necesidad del término auxiliar $E(v)$ y clarifica el manejo de las singularidades tanto en el tiempo como en el espacio, asegurando así los resultados de existencia global y dispersión para el rango de parámetros previsto en las dimensiones 2 y 3.