Correction to the article "Global well-posedness and scattering in weighted space for nonlinear Schrödinger equations below the Strauss exponent without gauge-invariance"

技術要約：ゲージ不変性を欠くシュレディンガー方程式における、ストラウス指数を下回る重み付き空間での大域的整属性と散乱に関する修正

問題の定義
本論文は、著者らの先行研究 [3] に対する修正である。先行研究では、ストラウス指数を下回る次元 $d=1, 2, 3$ における重み付き空間での非線形シュレディンガー方程式（NLS）の大域的整属性および散乱を扱った。元の論文には、次元 $d=2$ および $d=3$ における縮小写像の性質の証明において、決定的な誤りがあった。

具体的には、誤差は縮小議論における差の項 $\|A_{4,n}(\cdot, v_1) - A_{4,n}(\cdot, v_2)\|_X$ の推定において発生した。元の証明は、一般的な非平滑な非線形性に対して、非線形指数 $\alpha \geq 3$ が成立することを暗黙的に要求する推定式 (1.1) に依存していた。しかし、元の定理における $\alpha$ の許容範囲は、$d=2$ では $\alpha \in (2, 3)$、$d=3$ では $\alpha = 2$ であった。その結果、Assumption 1.1 の一般的前提の下では、[3] における Lemma 3.4 の証明はこれらの次元において不完全であり、非平滑な非線形性に対する主要な結果（Theorem 1.4）は正当化されない状態であった。なお、結果は $d=1$（ここで $\alpha > 3$）および $d=3$ の平滑な非線形性については成立していたが、一般の場合には修正を要した。

手法および再定式化
非線形性の時間微分から生じる特異性の問題、および空間積分性の欠如を解決するために、著者らは積分方程式および関連する解空間を再定式化する。

1. 積分方程式の再定式化:
   [3, (1.8)] のように $F_n(v)$ の時間微分を含む恒等式を利用する代わりに、著者らは項 $i\partial_t v - \frac{p^2}{2}v$ を孤立させる新しい恒等式を用いる。これにより、項 $A_{5,n}(t)$ が新しい項 $\tilde{A}_{5,n}(t)$ に置き換わった修正積分方程式 (2.1) が導かれる。この新しい項は、解に作用する演算子 $L = i\partial_t - \frac{p^2}{2}$ を組み込んでおり、元の証明で使用された補助項 $E(v)$ を必要とせずに、非線形性の時間微分をより直接的に扱うことを可能にしている。

2. 解空間の修正:
   著者らは、修正されたノルム $\|\cdot\|_{\tilde{Y}}$ を備えた新しい完備距離空間 $\tilde{Z}_M$ を導入する。ここでの重要な革新は、$|x| \leq 1$ で $|x|^{-\gamma}$、$|x| > 1$ で $1$と定義される切断された重み関数$\chi_\gamma(x)$ の導入である。

   • $\chi_\gamma$ の目的: この関数は、$t=0$ における時間特異性を避けるためにレゾルベント推定を用いる際に生じる、原点 ($x=0$) における空間特異性を制御するように設計されている。
   • 次元ごとの詳細:
     • $d=2$ の場合、この重みは、レゾルベント推定と重みを用いて特異性を $x=0$ 付近に局在化させることで、強い時間特異性を制御する。
     • $d=3$ の場合、この重みは空間積分性の欠如に対処する。ソボレフ埋め込み（具体的には $\|f\|_{L^2} \lesssim \|\nabla^{1/2}f\|_{L^{3/2}}$）を用い、空間的な正則性を課すことで、$\chi_{1/2}$ を通じて空間特異性を管理する。

3. 縮小写像の議論:
   [3] の写像 $\Phi$ は $\tilde{\Phi}$ に置き換えられる。著者らは、十分に小さい $M$ に対して $\tilde{\Phi}$ が $(\tilde{Z}_M, d_{\tilde{Z}})$ 上の縮小写像であることを証明する。証明には以下が含まれる：

   • Strichartz 推定、Gagliardo-Nirenberg 不等式、および $\chi_\gamma$ の性質を用いて、$\tilde{\Phi}(v)$ の $X$ ノルムおよび $\tilde{Y}$ ノルムにおける有界性を示すこと。
   • 非線形項の差を推定することにより、縮小性質 $d_{\tilde{Z}}(\tilde{\Phi}(v_1), \tilde{\Phi}(v_2)) \leq \frac{1}{2} d_{\tilde{Z}}(v_1, v_2)$ を証明すること。極めて重要な点として、距離 $d_{\tilde{Z}}$ は切断された重み $\chi_\gamma$ を含んでいないため、差の項に重みが出現することなく推定を完結させることができる。

主な貢献および結果

• Lemma 3.4 および Theorem 1.4 の修正: 本論文は、Assumption 1.1 で指定された全クラスの非線形性（$d=2$ および $d=3$ における非平滑なケースを含む）に対して、[3] の主要な結果が成立することを厳密に証明する。
• 新しい解析的枠組み: 補助項 $\tilde{A}_{5,n}$ に演算子 $L$ を直接含める積分方程式の再定式化と、切断された重み $\chi_\gamma$ の導入により、以前の証明を制限していた正則性要件（$\alpha \geq 3$）を回避することを可能にした。
• Proposition 2.1: 著者らは、元の Theorem 1.4 の仮定の下で、写像 $\tilde{\Phi}$ が新しい空間 $\tilde{Z}_M$ 上の縮小写像であり、その不動点が元の方程式 [3, (1.8)] の解となることを確立する。

意義
コンパクト性を用いた議論によって結果を回収できる可能性はあるものの、直接的な縮小写像の枠組み内で定理を確立することが望ましいと本論文は主張している。証明の欠落を修正することで、著者らは、分数次冪の非線形性を伴う散乱解を扱うために [3] で導入された手法が、意図されたパラメータ範囲において有効かつ堅牢であることを保証している。この修正は、補助項 $E(v)$ の必要性を排除し、時間と空間の両方における特異性の扱いを明確にすることで議論を簡略化し、それによって $d=2$ および $d=3$ における大域的整属性および散乱の結果を確実なものとしている。