Harder's conjecture and Hermitian automorphic forms

技术摘要：Harder 猜想与厄米特自守形式

问题陈述
本文探讨了 Harder 猜想，该猜想预测了椭圆模形式与二阶西格尔（Siegel）模形式之间的同余关系。具体而言，设 $k \ge 4$ 且 $j \ge 2$ 为偶整数，$f$ 为权重为 $2k + j - 2$ 的 $SL_2(\mathbb{Z})$ 原始椭圆尖点形式。该猜想断言，对于除代数临界值 $L^{\text{alg}}(k+j, f)$ 的素理想 $\mathfrak{p}$，存在一个西格尔尖点特征固有形式 $F \in S_{\det^k \Sym^j}(Sp_2)$，使得对于每个有理素数 $\ell$，其自旋 $L$-多项式在模 $\mathfrak{P}$（$\mathfrak{P}$ 是 $\mathfrak{p}$ 上方的素理想）下满足特定的同余关系：
$$L_\ell(X, F, \text{Spin}) \equiv L_\ell(X, f)(1 - \ell^{k-2}X)(1 - \ell^{k+j-1}X) \pmod{\mathfrak{P}}$$
虽然之前的研究已在某些情况下确立了该猜想（例如，通过 Shimura 型对应、偶无亏格格点或 Miyawaki 提升），但本文旨在通过涉及准分裂酉群 $U_{2,2}$ 上厄米特（Hermitian）自守形式的同余关系，在条件成立的情况下推导出该猜想。

方法论
作者采用了结合自守表示论与伽罗瓦表示论的双重策略：

1. 自守侧（提升的构造）：

   • 作者利用 Mok 对准分裂酉群的端点分类（endoscopic classification）来构造“厄米特自旋提升”（Hermitian spin lifts）。对于西格尔尖点特征固有形式 $F$，他们构造了一个位于 $U_{2,2}$ 上的厄米特尖点特征固有形式 $\text{Lift}_E(F)$（其中 $E$ 是一个辅助虚二次域）。
   • 他们证明了该提升的标准 $L$-多项式分解为 $F$ 的自旋 $L$-多项式及其 $\chi_E$-扭转之积。
   • 通过将此分解与与 $f$ 相关联的厄米特 Klingen–Eisenstein 提升的显式标准 $L$-多项式进行比较，他们证明了：若厄米特尖点形式 $G$ 与 Klingen–Eisenstein 提升之间存在同余，则在 $G$ 确实是某个 $F$ 的提升的前提下，上述自旋 $L$-多项式同余关系成立。

2. 伽罗瓦侧（下降与不可约性）：

   • 核心难点在于证明从 Klingen–Eisenstein 同余中获得的厄米特尖点形式 $G$ 确实是一个自旋提升。
   • 作者利用附属于酉群的伽罗瓦表示（遵循 Skinner 的方法）来分析由同余 $G \equiv [f]_{j+4}^2 \pmod{\mathfrak{P}}$ 产生的剩余扩张类。
   • 他们利用 Selmer 群消失的论证来排除“不需要的”剩余扩张类。具体而言，他们证明了在显式的算术假设下，相关的伽罗瓦表示 $R^\natural_G$ 是绝对不可约且共轭不变的。
   • 共轭不变性使得 $G$ 的全局 Arthur 参数能够从 $GL_4(\mathbb{A}_E)$ 下降到 $GL_4(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$。这种下降过程将 $G$ 识别为西格尔尖点特征固有形式的转移，从而确立了 $G = \text{Lift}_E(F)$。

主要贡献与结果

• 主定理（定理 5.8）： 本文证明了 Harder 猜想的一个条件版本。它表明，如果关于素理想 $\mathfrak{p}$、虚二次域 $E$ 以及 $f$ 的非同余性满足特定的算术条件，则自旋 $L$-多项式同余关系成立。
• 技术假设： 该定理需要十个显式条件，包括：
  • $p > 2k + j - 2$ 且 $p$ 在 $E$ 中是不分歧的。
  • $E$ 的类数为 1，且有一个唯一的分歧素 $q \neq p$。
  • 特定 $L$-值（例如 $L(0, \tilde{\omega}^{j+1})$, $L^{\text{alg}}(k+j, f \otimes \chi_E)$）不被 $\mathfrak{P}$ 整除。
  • 关于分歧素 $q$ 的“驯化”（Tame）条件（$q^{j+2} \not\equiv 1 \pmod p$）。
  • 附属于 $f$ 的伽罗瓦表示的像是包含 $SL_2(\mathcal{O}_P)$ 的。
• 数值验证： 作者提供了一个验证这些假设的数值示例表（表 1）。这包括恢复已知情况（例如 $(k,j,p) = (10,4,41)$）以及建立新的针对偶数和奇数 $k$ 的情况（例如 $(7, 12, 73)$, $(5, 20, 193)$）。

意义
本文声称其意义在于提供了一个统一的框架来处理 Harder 型同余，能够一致地处理偶数和奇数 $k$（对于 $k \ge 4$）。通过将问题转向厄米特自守形式的设定，并利用 Mok 的端点分类以及伽罗瓦理论的下降法，作者提供了一个条件证明，绕过了以往方法的一些限制（例如早期工作中对 $k$ 的奇偶性限制）。该工作表明，只要相关的 Selmer 群消失且伽罗瓦表示满足特定的不可约性和不变性，西格尔形式 $F$ 的存在性就可以从厄米特同余的存在性中推导出来。文中明确指出，$k=3$ 的情况由于 Mok 分类中的边界问题需要单独讨论，但暗示通过微调即可实现。