Harder's conjecture and Hermitian automorphic forms

Resumen Técnico: La Conjetura de Harder y las Formas Automorfas Hermíticas

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda la conjetura de Harder, la cual predice congruencias entre formas modulares elípticas y formas modulares de Siegel de grado dos. Específicamente, sea $k \ge 4$ y $j \ge 2$ enteros con $j$ par, y sea $f$ una forma de cúspide elíptica primitiva de peso $2k + j - 2$ para $SL_2(\mathbb{Z})$. La conjetura postula la existencia de una forma de cúspide de Siegel $F \in S_{\det^k \Sym^j}(Sp_2)$ tal que, para un ideal primo $\mathfrak{p}$ que divide el valor algebraico crítico $L^{\text{alg}}(k+j, f)$, el polinomio $L$ espinorial de $F$ satisface una congruencia específica módulo un ideal primo $\mathfrak{P}$ sobre $\mathfrak{p}$:
$$L_\ell(X, F, \text{Spin}) \equiv L_\ell(X, f)(1 - \ell^{k-2}X)(1 - \ell^{k+j-1}X) \pmod{\mathfrak{P}}$$
para cada primo racional $\ell$. Si bien trabajos previos han establecido casos de esta conjetura (por ejemplo, mediante correspondencias de tipo Shimura, retículos unimodulares pares o elevaciones de Miyawaki), este artículo tiene como objetivo derivar la conjetura condicionalmente a partir de congruencias que involucran formas automorfas hermíticas en el grupo cuasi-desplegado $U_{2,2}$.

Metodología
Los autores emplean una estrategia de dos vertientes que combina la teoría de representaciones automorfas y la teoría de representaciones de Galois:

1. Lado Automorfo (Construcción de Elevaciones/Lifts):

   • Los autores utilizan la clasificación endoscópica de Mok para grupos unitarios cuasi-desplegados para construir "elevaciones espínicas hermíticas". Para una forma de cúspide de Siegel $F$, construyen una forma de cúspide hermítica $\text{Lift}_E(F)$ en $U_{2,2}$ (donde $E$ es un campo cuadrático imaginario auxiliar).
   • Establecen que el polinomio $L$ estándar de su elevación se factoriza en el producto del polinomio $L$ espinorial de $F$ y su giro por $\chi_E$.
   • Al comparar esta factorización con el polinomio $L$ estándar explícito de una elevación de Klingen–Eisenstein hermítica asociada a $f$, demuestran que una congruencia entre la forma de cúspide hermítica $G$ y la elevación de Klingen–Eisenstein implica la deseada congruencia del polinomio $L$ espinorial, siempre que $G$ sea efectivamente la elevación de algún $F$.

2. Lado de Galois (Descenso e Irreducibilidad):

   • La dificultad central radica en probar que la forma de cúspide hermítica $G$ obtenida de la congruencia de Klingen–Eisenstein es en realidad una elevación espín.
   • Los autores utilizan representaciones de Galois asociadas a grupos unitarios (siguiendo a Skinner) para analizar las clases de extensión residuales que surgen de la congruencia $G \equiv [f]_{j+4}^2 \pmod{\mathfrak{P}}$.
   • Emplean argumentos de anulación de grupos de Selmer para excluir clases de extensión residuales "no deseadas". Específicamente, demuestran que, bajo hipótesis aritméticas explícitas, la representación de Galois asociada $R^\natural_G$ es absolutamente irreducible y conjugado-invariante.
   • La invariancia por conjugación permite que el parámetro de Arthur global de $G$ descienda de $GL_4(\mathbb{A}_E)$ a $GL_4(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$. Este descenso identifica a $G$ como la transferencia de una forma de cúspide de Siegel, estableciendo así que $G = \text{Lift}_E(F)$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema Principal (Teorema 5.8): El artículo prueba una versión condicional de la conjetura de Harder. Establece que si se cumplen ciertas condiciones aritméticas respecto al primo $\mathfrak{p}$, el campo cuadrático imaginario $E$ y la no-congruencia de $f$, entonces se cumple la congruencia del polinomio $L$ espinorial.
• Hipótesis Técnicas: El teorema requiere diez condiciones explícitas, incluyendo:
  • $p > 2k + j - 2$ y $p$ no ramificado en $E$.
  • El número de clase de $E$ es uno, con un único primo ramificado $q \neq p$.
  • No divisibilidad de valores $L$ específicos (por ejemplo, $L(0, \tilde{\omega}^{j+1})$, $L^{\text{alg}}(k+j, f \otimes \chi_E)$) por $\mathfrak{P}$.
  • Una condición "Tame" sobre el primo ramificado $q$ ($q^{j+2} \not\equiv 1 \pmod p$).
  • La imagen de la representación de Galois asociada a $f$ contiene $SL_2(\mathcal{O}_P)$.
• Verificación Numérica: Los autores proporcionan una tabla de ejemplos numéricos (Tabla 1) donde estas hipótesis son verificadas. Esto incluye la recuperación de casos conocidos (por ejemplo, $(k,j,p) = (10,4,41)$) y el establecimiento de nuevos casos tanto para $k$ par como impar (por ejemplo, $(7, 12, 73)$, $(5, 20, 193)$).

Significancia
El artículo afirma su significancia al proporcionar un marco unificado para las congruencias de tipo Harder que trata de manera uniforme tanto para $k$ par como impar (para $k \ge 4$). Al desplazar el problema al entorno de las formas automorfas hermíticas y utilizar la clasificación endoscópica de Mok junto con el descenso de Galois, los autores ofrecen una prueba condicional que evita algunas limitaciones de métodos previos (como las restricciones de paridad en $k$ en trabajos anteriores). El trabajo demuestra que la existencia de la forma de Siegel $F$ puede deducirse de la existencia de una congruencia hermítica, siempre que los grupos de Selmer pertinentes se anulen y las representaciones de Galois satisfagan propiedades específicas de irreducibilidad e invariancia. El artículo señala explícitamente que el caso $k=3$ requiere una discusión separada debido a problemas de frontera en la clasificación de Mok, pero sugiere que es accesible mediante modificaciones menores.