Harder's conjecture and Hermitian automorphic forms

Résumé Technique : La Conjecture de Harder et les Formes Automorphes Hermitiennes

Énoncé du Problème
Cet article traite de la conjecture de Harder, qui prédit des congruences entre les formes modulaires elliptiques et les formes modulaires de Siegel de degré deux. Plus précisément, soient $k \ge 4$ et $j \ge 2$ des entiers avec $j$ pair, et soit $f$ une forme de cuspide primitive de poids $2k + j - 2$ pour $SL_2(\mathbb{Z})$. La conjecture postule l'existence d'une forme propre de cuspide de Siegel $F \in S_{\det^k \Sym^j}(Sp_2)$ telle que, pour un idéal premier $\mathfrak{p}$ divisant la valeur algébrique critique $L^{\text{alg}}(k+j, f)$, le polynôme $L$ de type spinor de $F$ satisfasse une congruence spécifique modulo un idéal premier $\mathfrak{P}$ au-dessus de $\mathfrak{p}$ :
$$L_\ell(X, F, \text{Spin}) \equiv L_\ell(X, f)(1 - \ell^{k-2}X)(1 - \ell^{k+j-1}X) \pmod{\mathfrak{P}}$$
pour tout nombre premier rationnel $\ell$. Bien que des travaux antérieurs aient établi certains cas de cette conjecture (par exemple, via des correspondances de type Shimura, des réseaux unimodulaires pairs ou des lifts de Miyawaki), cet article vise à dériver la conjecture de manière conditionnelle à partir de congruences impliquant des formes automorphes hermitiennes sur le groupe quasi-supplétif unitaire $U_{2,2}$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une stratégie à deux volets combinant la théorie des représentations automorphes et la théorie des représentations de Galois :

1. Côté Automorphe (Construction de Lifts) :

   • Les auteurs utilisent la classification endoscopique de Mok pour les groupes unitaires quasi-supplétifs afin de construire des « spin lifts hermitiens ». Pour une forme propre de cuspide de Siegel $F$, ils construisent une forme propre de cuspide hermitienne $\text{Lift}_E(F)$ sur $U_{2,2}$ (où $E$ est un corps quadratique imaginaire auxiliaire).
   • Ils établissent que le polynôme $L$ standard de ce lift se factorise en le produit du polynôme $L$ de type spinor de $F$ et de son torsion par $\chi_E$.
   • En comparant cette factorisation avec le polynôme $L$ standard explicite d'un lift de Klingen–Eisenstein hermitien associé à $f$, ils prouvent qu'une congruence entre la forme de cuspide hermitienne $G$ et le lift de Klingen–Eisenstein implique la congruence de la volonté du polynôme $L$ de type spinor, à condition que $G$ soit effectivement le lift de quelque $F$.

2. Côté Galois (Descente et Irréductibilité) :

   • La difficulté centrale réside dans la preuve que la forme de cuspide hermitienne $G$ obtenue de la congruence de Klingen–Eisenstein est effectivement un spin lift.
   • Les auteurs utilisent les représentations de Galois attachées aux groupes unitaires (suivant Skinner) pour analyser les classes d'extension résiduelles émergeant de la congruence $G \equiv [f]_{j+4}^2 \pmod{\mathfrak{P}}$.
   • Ils emploient des arguments d'annulation de groupes de Selmer pour exclure les classes d'extension résiduelles « indésirables ». Plus précisément, ils prouvent que sous des hypothèses arithmétiques explicites, la représentation de Galois associée $R^\natural_G$ est absolument irréductible et invariante par conjugaison.
   • L'invariance par conjugaison permet au paramètre d'Arthur global de $G$ de descendre de $GL_4(\mathbb{A}_E)$ vers $GL_4(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$. Cette descente identifie $G$ comme le transfert d'une forme propre de cuspide de Siegel, établissant ainsi $G = \text{Lift}_E(F)$.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème Principal (Théorème 5.8) : L'article prouve une version conditionnelle de la conjecture de Harder. Il établit que si des conditions arithmétiques spécifiques sont remplies concernant le nombre premier $\mathfrak{p}$, le corps quadratique imaginaire $E$, et la non-congruence de $f$, alors la congruence du polynôme $L$ de type spinor est vérifiée.
• Hypothèses Techniques : Le théorème requiert dix conditions explicites, incluant :
  • $p > 2k + j - 2$ et $p$ non ramifié dans $E$.
  • Le nombre de classes de $E$ est égal à un, avec un unique nombre premier ramifié $q \neq p$.
  • La non-divisibilité de valeurs $L$ spécifiques (par exemple, $L(0, \tilde{\omega}^{j+1})$, $L^{\text{alg}}(k+j, f \otimes \chi_E)$) par $\mathfrak{P}$.
  • Une condition « Tame » sur le nombre premier ramifié $q$ ($q^{j+2} \not\equiv 1 \pmod p$).
  • L'image de la représentation de Galois attachée à $f$ contient $SL_2(\mathcal{O}_P)$.
• Vérification Numérique : Les auteurs fournissent un tableau d'exemples numériques (Tableau 1) où ces hypothèses sont vérifiées. Cela inclut la récupération de cas connus (par exemple, $(k,j,p) = (10,4,41)$) et l'établissement de nouveaux cas pour des $k$ pairs et impairs (par exemple, $(7, 12, 73)$, $(5, 20, 193)$).

Signification
L'article affirme sa signification en fournissant un cadre unifié pour les congruences de type Harder qui traite les $k$ pairs et impairs de manière uniforme (pour $k \ge 4$). En déplaçant le problème vers le cadre des formes automorphes hermitiennes et en utilisant la classification endoscopique de Mok ainsi que la descente de Galois, les auteurs offrent une preuve conditionnelle qui contourne certaines limitations des méthodes antérieures (telles que les restrictions de parité sur $k$ dans les travaux précédents). Le travail démontre que l'existence de la forme de Siegel $F$ peut être déduite de l'existence d'une congruence hermitienne, à condition que les groupes de Selmer pertinents s'annulent et que les représentations de Galois satisfassent des propriétés spécifiques d'irréductibilité et d'invariance. L'article note explicitement que le cas $k=3$ nécessite une discussion séparée en raison de problèmes de bord dans la classification de Mok, mais suggère qu'il est accessible via des modifications mineures.