Harder's conjecture and Hermitian automorphic forms

Resumo Técnico: Conjectura de Harder e Formas Automórficas Hermitianas

Enunciado do Problema
Este artigo aborda a conjectura de Harder, que prevê congruências entre formas modulares elípticas e formas modulares de Siegel de grau dois. Especificamente, seja $k \ge 4$ e $j \ge 2$ inteiros com $j$ par, e seja $f$ uma forma de cúspide elíptica primitiva de peso $2k + j - 2$ para $SL_2(\mathbb{Z})$. A conjectura postula a existência de uma autoforma de cúspide de Siegel $F \in S_{\det^k \Sym^j}(Sp_2)$ tal que, para um ideal primo $\mathfrak{p}$ que divide o valor algébrico crítico $L^{\text{alg}}(k+j, f)$, o polinômio $L$ espinorial de $F$ satisfaz uma congruência específica módulo um ideal primo $\mathfrak{P}$ acima de $\mathfrak{p}$:
$$L_\ell(X, F, \text{Spin}) \equiv L_\ell(X, f)(1 - \ell^{k-2}X)(1 - \ell^{k+j-1}X) \pmod{\mathfrak{P}}$$
para cada primo racional $\ell$. Embora trabalhos anteriores tenham estabelecido casos desta conjectura (por exemplo, via correspondências do tipo Shimura, reticulados unimodulares pares ou levantamentos de Miyawaki), este artigo visa derivar a conjectura condicionalmente a partir de congruências envolvendo formas automórficas hermitianas no grupo unitário quase-divisível $U_{2,2}$.

Metodologia
Os autores empregam uma estratégia de duas frentes combinando a teoria de representações automórficas e a teoria de representações de Galois:

1. Lado Automórfico (Construção de Levantamentos):

   • Os autores utilizam a classificação endoscópica de Mok para grupos unitários quase-divisíveis para construir "levantamentos espinosos hermitianos". Para uma autoforma de cúspide de Siegel $F$, eles constroem uma autoforma de cúspide hermitiana $\text{Lift}_E(F)$ em $U_{2,2}$ (onde $E$ é um campo quadrático imaginário auxiliar).
   • Eles estabelecem que o polinômio $L$ padrão de este levantamento fatora no produto do polinômio $L$ espinoral de $F$ e seu torção $\chi_E$.
   • Ao comparar esta fatoração com o polinômio $L$ padrão explícito de um levantamento Klingen–Eisenstein hermitiano associado a $f$, eles provam que uma congruência entre a forma de cúspide hermitiana $G$ e o levantamento Klingen–Eisenstein implica a desejada congruência do polinômio $L$ espinoral, desde que $G$ seja de fato o levantamento de algum $F$.

2. Lado de Galois (Descida e Irredutibilidade):

   • A dificuldade central reside em provar que a forma de cúspide hermitiana $G$ obtida da congruência Klingen–Eisenstein é, de fato, um levantamento espinoso.
   • Os autores utilizam representações de Galois associadas a grupos unitários (seguindo Skinner) para analisar as classes de extensão residuais resultantes da congruência $G \equiv [f]_{j+4}^2 \pmod{\mathfrak{P}}$.
   • Eles empregam argumentos de aniquilação de grupos de Selmer para excluir "classes de extensão residuais indesejadas". Especificamente, eles provam que, sob hipóteses aritméticas explícitas, a representação de Galois associada $R^\natural_G$ é absolutamente irredutível e invariante por conjugação.
   • A invariância por conjugação permite que o parâmetro de Arthur global de $G$ desça de $GL_4(\mathbb{A}_E)$ para $GL_4(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$. Esta descida identifica $G$ como o levantamento de uma autoforma de cúspide de Siegel, estabelecendo assim $G = \text{Lift}_E(F)$.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema Principal (Teorema 5.8): O artigo prova uma versão condicional da conjectura de Harder. Ele estabelece que, se condições aritméticas específicas forem atendidas em relação ao primo $\mathfrak{p}$, ao campo quadrático imaginário $E$ e à não-congruência de $f$, então a congruência do polinômio $L$ espinoral ocorre.
• Hipóteses Técnicas: O teorema requer dez condições explícitas, incluindo:
  • $p > 2k + j - 2$ e $p$ não ramificado em $E$.
  • O número de classes de $E$ é um, com um único primo ramificado $q \neq p$.
  • Não divisibilidade de valores $L$ específicos (ex: $L(0, \tilde{\omega}^{j+1})$, $L^{\text{alg}}(k+j, f \otimes \chi_E)$) por $\mathfrak{P}$.
  • Uma condição "Tame" sobre o primo ramificado $q$ ($q^{j+2} \not\equiv 1 \pmod p$).
  • A imagem da representação de Galois associada a $f$ contendo $SL_2(\mathcal{O}_P)$.
• Verificação Numérica: Os autores fornecem uma tabela de exemplos numéricos (Tabela 1) onde estas hipóteses são verificadas. Isso inclui a recuperação de casos conhecidos (ex: $(k,j,p) = (10,4,41)$) e o estabelecimento de novos casos para $k$ par e ímpar (ex: $(7, 12, 73)$, $(5, 20, 193)$).

Significância
O artigo afirma sua significância ao fornecer um arcabouço unificado para congruências do tipo Harder que trata $k$ par e ímpar uniformemente (para $k \ge 4$). Ao deslocar o problema para o cenário de formas automórficas hermitianas e utilizar a classificação endoscópica de Mok junto com a descida de teoria de Galois, os autores oferecem uma prova condicional que contorna algumas limitações de métodos anteriores (como as restrições de paridade em $k$ em trabalhos anteriores). O trabalho demonstra que a existência da forma de Siegel $F$ pode ser deduzida da existência de uma congruência hermitiana, desde que os grupos de Selmer relevantes se aniquilem e as representações de Galois satisfaçam propriedades específicas de irredutibilidade e invariância. O artigo nota explicitamente que o caso $k=3$ requer discussão separada devido a problemas de fronteira na classificação de Mok, mas sugere que é acessível via modificações menores.