On Milnor and Tjurina numbers of Pairs of Holomorphic Functions Germs

技术摘要：全纯函数对的 Milnor 数与 Tjurina 数

问题陈述
具有孤立奇点的全纯函数丛的研究是奇异性理论中的一个中心课题，主要关注 Milnor 数 $\mu(f)$ 和 Tjurina 数 $\tau(f)$。然而，与有理函数丛 $f/g$ 相关的数值不变量受到的关注较少。最近，A. Szawlowski 引入了函数对 $(f, g)$ 的 Milnor 数，记作 $\mu(f, g)$，这可以被解释为有理函数 $f/g$ 的 Milnor 数。该不变量源自由 1-形式 $\omega_{f/g} = gdf - fdg$ 定义的奇异全纯叶状结构 $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$。

本文解决的主要问题是，目前尚缺乏针对函数对的 Tjurina 数。虽然 $\mu(f, g)$ 已经确立，但仍需要定义并刻画函数对的 Tjurina 数 $\tau(f, g)$，以提供一个完整的有理函数丛及其相关曲线丛的解析不变量框架。

方法论
作者利用奇异全纯叶状理论来定义并分析这些不变量。核心方法包括：

1. 叶状结构关联： 将函数对 $(f, g)$ 与由曲线丛 $\mathcal{P}_{f,g} = \{ \alpha f + \beta g = 0 \}$ 生成的叶状结构 $\mathcal{F}_{\omega_{f,g}}$ 相关联。
2. 相对 Tjurina 数： 利用叶状结构 $\mathcal{F}$ 对不变约化曲线 $C$ 的 Tjurina 数的概念，定义为 $\tau(\mathcal{F}, C) = \dim_{\mathbb{C}} \mathcal{O}_2 / (P, Q, h)$，其中 $\omega = Pdx + Qdy$ 且 $C = \{h=0\}$。
3. 分离子（Separatrices）的平衡除子： 应用于叶状结构 $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ 的平衡分离子理论（由 Genzmer 引入）。这些除子是通过分歧纤维（曲线丛中的奇异成员）和泛型纤维构造而成的。
4. 解析不变性： 证明所提议的不变量独立于平衡分离子的具体选择，从而确立其为良定义的解析不变量。
5. 相交理论与公式： 通过将对的不变量与交截重数 $I_0(f, g)$、单个纤维的 Tjurina 数以及 GSV 指数（Gómez-Mont, Seade, Verjovsky）联系起来，推导出显式公式。

主要贡献与结果

• $\tau(f, g)$ 的定义： 本文引入了函数对 $(f, g)$ 的 Tjurina 数，记作 $\tau(f, g)$，其定义为叶状结构 $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ 对任何适配于曲线 $fg=0$ 的原始平衡分离子的 Tjurina 数。作者证明了该定义独立于平衡除子的选择。

• 显式公式：

  • 基于纤维的关系： 对于曲线丛的一个特定纤维 $C_{[\alpha:\beta]}$，本文确立了 $\tau_{[\alpha:\beta]}(f, g) = I_0(f, g) + \tau(C_{[\alpha:\beta]})$。
  • 一般公式： 推导出了一个关于 $\tau(f, g)$ 的显式公式，该公式由零除子和极点除子的 Tjurina 数、分歧分离子的数量 $r$ 以及交截重数 $I_0(f, g)$ 组成。具体为 $\tau(f, g) = \tau(B_0) - \tau(B_\infty) + r(r-2)I_0(f, g)$。
  • 分歧公式： 建立了一个关于 $\tau(f, g)$ 的分歧公式，类似于已知的 $\mu(f, g)$ 公式：
    $$\tau(f, g) = \tau(fg) + \sum_{j=1}^r (\tau(h_j) - \tau_{\text{gen}}) + r^2 I_0(f, g) + \Theta_{B_0} + \Theta_{h_1 \dots h_r} - \Theta_{B_\infty}$$
    其中 $h_j$ 是分歧纤维，$\tau_{\text{gen}}$ 是泛型 Tjurina 数。

• 拓扑性与解析性： 本文表明，虽然函数对的泛型 Milnor 数是一个拓扑不变量，但函数对的泛型 Tjurina 数不是拓扑不变量。通过一个拓扑等价的对产生不同泛型 Tjurina 数的例子证明了这一点。

• 半驯化（Semitame）丛的刻画： 作者提供了半驯化有理函数丛（其仅有的分歧纤维为 $f$ 和 $g$）的新刻画。函数对 $(f, g)$ 是半驯化的，当且仅当 $\tau(f, g) = \tau(fg)$。这一条件被证明等价于 $\mu(f, g) = \mu(fg)$。

• 针对对的 Teissier 引理： 建立了一个针对对的 Teissier 引理版本，将对沿平衡除子的极点交截数与对的 Milnor 数联系起来：
  $$i_0((f, g), B) = \mu(f, g) + \nu(f) + \nu(g) - 1$$
  其中 $\nu$ 表示代数重数。

• 上界与应用：

  • 推导了 $\mu(f, g)$ 的一个上界：$\mu(f, g) \leq 2\tau(fgh_1 \dots h_r) - 2r(r+2)I_0(f, g)$。
  • 研究结果应用于 $\mathbb{P}^2$ 中的典型代数曲线丛。本文为 Dimca 关于典型丛中奇异成员全局 Milnor 数之和的公式提供了一个替代证明，即 $\sum \mu(C^s_j) = 3(k-1)^2$。
  • 推导了全局 Tjurina 数之和的相应不等式：$\frac{9}{4}(k-1)^2 < \sum \tau(C^s_j) \leq 3(k-1)^2$，其中上界在所有奇异点均为拟齐次（quasi-homogeneous）时取等号。

意义
本文声称其意义在于将经典的单全纯函数奇异性理论扩展到函数对（有理函数丛）的情境中。通过引入 $\tau(f, g)$，作者完成了在曲线丛背景下 Milnor 数与 Tjurina 数之间的平行对应。这项工作为这些不变量提供了显式的计算工具（公式），并阐明了它们的拓扑与解析性质。特别地，通过 Tjurina 数对半驯化丛的刻画，为有理函数丛的结构提供了新的视角。此外，对典型代数曲线丛的应用将局部奇异性理论与全局几何性质联系起来，为 Dimca 的现有结果提供了替代证明，并为该背景下的 Tjurina 数建立了新的界限。