On Milnor and Tjurina numbers of Pairs of Holomorphic Functions Germs

Resumo Técnico: Números de Milnor e de Tjurina de Pares de Germes de Funções Holomorfas

Enunciado do Problema
O estudo de invariantes numéricos para germes de funções holomorfas com singularidades isoladas é um tópico central na Teoria das Singularidades, focando-se primordialmente no número de Milnor $\mu(f)$ e no número de Tjurina $\tau(f)$. No entanto, invariantes numéricos associados a germes de funções meromorfas $f/g$ receberam menos atenção. Recentamente, A. Szawlowski introduziu o número de Milnor de um par $(f, g)$, denotado por $\mu(f, g)$, que pode ser interpretado como o número de Milnor da função meromorfa $f/g$. Este invariante é derivado da foliação holomorfa singular $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ definida pela 1-forma $\omega_{f/g} = gdf - fdg$.

O problema principal abordado neste artigo é a ausência de um número de Tjurina correspondente para pares de funções holomorfas. Embora $\mu(f, g)$ esteja estabelecido, é necessária uma definição e caracterização do número de Tjurina de um par, $\tau(f, g)$, para fornecer um arcabouço de invariantes analíticos completo para germes meromorfos e seus lápis de curvas associados.

Metodologia
Os autores empregam a teoria de foliações holomorfas singulares para definir e analisar estes invariantes. A metodologia central envolve:

1. Associação de Foliação: Associar o par $(f, g)$ à foliação $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ gerada pelo lápis de curvas $\mathcal{P}_{f,g} = \{ \alpha f + \beta g = 0 \}$.
2. Números de Tjurina Relativos: Utilizar o conceito do número de Tjurina de uma foliação $\mathcal{F}$ em relação a uma curva reduzida invariante $C$, definido como $\tau(\mathcal{F}, C) = \dim_{\mathbb{C}} \mathcal{O}_2 / (P, Q, h)$, onde $\omega = Pdx + Qdy$ e $C = \{h=0\}$.
3. Divisores Balanceados de Separatrizes: Aplicar a teoria de divisores balanceados de separatrizes (introduzida por Genzmer) para a foliação $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$. Estes divisores são construídos usando fibras de bifurcação (membros singulares do lápis) e fibras genéricas.
4. Invariância Analítica: Provar que os invariantes propostos são independentes da escolha específica do divisor balanceado, estabelecendo-os como invariantes analíticos bem definidos.
5. Teoria de Interseção e Fórmulas: Derivar fórmulas explícitas relacionando os invariantes do par à multiplicidade de interseção $I_0(f, g)$, aos números de Tjurina de fibras individuais e ao índice GSV (Gómez-Mont, Seade, Verjovsky).

Principais Contribuições e Resultados

• Definição de $\tau(f, g)$: O artigo introduz o número de Tjurina de um par $(f, g)$, denotado por $\tau(f, g)$, definido como o número de Tjurina da foliação $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ em relação a qualquer divisor de separatrizes balanceado primitivo adaptado à curva $fg=0$. Os autores provam que esta definição é independente da escolha do divisor balanceado.

• Fórmulas Explícitas:

  • Relação por Fibra: Para uma fibra específica $C_{[\alpha:\beta]}$ do lápis, o artigo estabelece $\tau_{[\alpha:\beta]}(f, g) = I_0(f, g) + \tau(C_{[\alpha:\beta]})$.
  • Fórmula Geral: Uma fórmula explícita para $\tau(f, g)$ é derivada em termos dos números de Tjurina dos divisores de zero e polo de um divisor balanceado, o número de separatrizes de bifurcação $r$, e a multiplicidade de interseção $I_0(f, g)$. Especificamente, $\tau(f, g) = \tau(B_0) - \tau(B_\infty) + r(r-2)I_0(f, g)$.
  • Fórmula de Bifurcação: Uma fórmula de bifurcação para $\tau(f, g)$ é estabelecida, análoga à fórmula conhecida para $\mu(f, g)$:
    $$\tau(f, g) = \tau(fg) + \sum_{j=1}^r (\tau(h_j) - \tau_{\text{gen}}) + r^2 I_0(f, g) + \Theta_{B_0} + \Theta_{h_1 \dots h_r} - \Theta_{B_\infty}$$
    onde $h_j$ são fibras de bifurcação e $\tau_{\text{gen}}$ é o número de Tjurina genérico.

• Natureza Topológica vs. Analítica: O artigo demonstra que, enquanto o número de Milnor genérico de um par é um invariante topológico, o número de Tjurina genérico de um par não é um invariante topológico. Isto é demonstrado através de um exemplo onde pares topologicamente equivalentes produzem diferentes números de Tjurina genéricos.

• Caracterização de Germes Semitame: Os autores fornecem uma nova caracterização de germes meromorfos semitame (aqueles cujas únicas fibras de bifurcação são $f$ e $g$). Um par $(f, g)$ é semitame se, e somente se, $\tau(f, g) = \tau(fg)$. Esta condição é mostrada como equivalente a $\mu(f, g) = \mu(fg)$.

• Lema de Teissier para Pares: Uma versão do Lema de Teissier é estabelecida para pares, relacionando o número de interseção polar do par ao longo de um divisor balanceado com o número de Milnor do par:
  $$i_0((f, g), B) = \mu(f, g) + \nu(f) + \nu(g) - 1$$
  onde $\nu$ denota a multiplicidade algébrica.

• Limites Superiores e Aplicações:

  • Um limite superior para $\mu(f, g)$ é derivado: $\mu(f, g) \leq 2\tau(fgh_1 \dots h_r) - 2r(r+2)I_0(f, g)$.
  • Os resultados são aplicados a lápis genéricos de curvas algébricas em $\mathbb{P}^2$. O artigo fornece uma prova alternativa para a fórmula de Dimca referente à soma dos números de Milnor globais de membros singulares em um lápis genérico, mostrando $\sum \mu(C^s_j) = 3(k-1)^2$.
  • Uma desigualdade correspondente para a soma dos números de Tjurina globais é derivada: $\frac{9}{4}(k-1)^2 < \sum \tau(C^s_j) \leq 3(k-1)^2$, sendo que a igualdade no limite superior ocorre se, e somente se, todas as singularidades forem quase-homogêneas.

Significância
O artigo reivindica significância ao estender a teoria clássica das singularidades de funções holomorfas simples para pares de funções (germes meromorfos). Ao introduzir $\tau(f, g)$, os autores completam o paralelo entre os números de Milnor e de Tjurina no contexto de lápis de curvas. O trabalho fornece ferramentas computacionais explícitas (fórmulas) para estes invariantes e clarifica as suas propriedades topológicas e analíticas. Especificamente, a caracterização de germes semitame via o número de Tjurina oferece uma nova perspectiva sobre a estrutura de funções meromorfas. Além disso, a aplicação a lápis genéricos de curvas algébricas conecta a teoria local de singularidades com propriedades geométricas globais, oferecendo uma prova alternativa para resultados existentes de Dimca e estabelecendo novos limites para os números de Tjurina neste contexto.