On Milnor and Tjurina numbers of Pairs of Holomorphic Functions Germs

技術的要約：正則関数芽のペアにおけるミルナー数とテューリナ数

問題設定
孤立特異点を持つ正則関数の芽に関する数値不変量の研究は、特異点理論における中心的なトピックであり、主にミルナー数 $\mu(f)$ とテューリナ数 $\tau(f)$ に焦点を当てている。しかし、有理関数芽 $f/g$ に関連する数値不変量は、これまであまり注目されてこなかった。近年、A. Szawlowski は、ペア $(f, g)$ のミルナー数 $\mu(f, g)$ を導入した。これは、有理関数 $f/g$ のミルナー数と解釈できる。この不変量は、1形式 $\omega_{f/g} = gdf - fdg$ によって定義される正則葉状層 $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ から導かれる。

本論文が取り組む主要な問題は、関数のペアに対する対応するテューリナ数が欠如していることである。$\mu(f, g)$ は確立されている一方で、有理的な芽およびそれに関連する曲線のペンシル（束）の完全な解析的不変量フレームワークを提供するためには、ペアのテューリナ数 $\tau(f, g)$ の定義と特徴付けが必要である。

手法
著者らは、正則葉状層の理論を用いてこれらの不変量を定義し、分析する。核となる手法は以下の通りである：

1. 葉状層への関連付け： ペア $(f, g)$ を、曲線のペンシル $\mathcal{P}_{f,g} = \{ \alpha f + \beta g = 0 \}$ によって生成される葉状層 $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ に関連付ける。
2. 相対的テューリナ数： 不変な簡約曲線 $C$ に関する葉状層 $\mathcal{F}$ のテューリナ数 $\tau(\mathcal{F}, C) = \dim_{\mathbb{C}} \mathcal{O}_2 / (P, Q, h)$ という概念を利用する。ここで $\omega = Pdx + Qdy$ かつ $C = \{h=0\}$ である。
3. セパラトリスの均衡分割（Balanced Divisors of Separatrices）： 葉状層 $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ に対する、Genzmerによって導入された均衡分割の理論を適用する。これらの分割は、分岐ファイバー（ペンシルの特異なメンバー）と一般的ファイバーを用いて構成される。
4. 解析的不変性： 提案された不変量が特定の均衡分割の選択に依存しないことを証明し、それらがウェルディファインドな解析的不変量であることを確立する。
5. 交差理論と公式： ペアの不変量を、交差多重度 $I_0(f, g)$、個々のファイバーのテューリナ数、およびGSV指数（Gómez-Mont, Seade, Verjovsky）に関連付けることで、明示的な公式を導出する。

主要な貢献と結果

• $\tau(f, g)$ の定義： 本論文は、曲線 $fg=0$に適合した任意の原始的な均衡分割のセパラトリスに関する葉状層$\mathcal{F}{\omega{f/g}}$のテューリナ数として、ペア$(f, g)$のテューリナ数$\tau(f, g)$ を定義する。著者らは、この定義が均衡分割の選択に独立であることを証明している。

• 明示的な公式：

  • ファイバーごとの関係： ペンシルの特定のファイバー $C_{[\alpha:\beta]}$ に対して、$\tau_{[\alpha:\beta]}(f, g) = I_0(f, g) + \tau(C_{[\alpha:\beta]})$ が成立することを確立する。
  • 一般公式： $\tau(f, g)$ に関する明示的な公式が、ゼロおよび極の分割のテューリナ数、分岐セパラトリスの数 $r$、および交差多重度 $I_0(f, g)$ を用いて導出される。具体的には、$\tau(f, g) = \tau(B_0) - \tau(B_\infty) + r(r-2)I_0(f, g)$ である。
  • 分岐公式： $\tau(f, g)$ に関する分岐公式が、既知の $\mu(f, g)$ の公式と同様に確立される：
    $$\tau(f, g) = \tau(fg) + \sum_{j=1}^r (\tau(h_j) - \tau_{\text{gen}}) + r^2 I_0(f, g) + \Theta_{B_0} + \Theta_{h_1 \dots h_r} - \Theta_{B_\infty}$$
    ここで $h_j$ は分岐ファイバーであり、$\tau_{\text{gen}}$ は一般的テューリナ数である。

• 位相的性質 vs 解析的性質： 本論文は、ペアの生成的ミルナー数は位相的不変量である一方で、ペアの生成的テューリナ数は位相的不変量ではないことを示している。これは、位相的に等価なペアが異なる生成的テューリナ数を与える例を通じて示される。

• セミテイム（semitame）な芽の特徴付け： 著者らは、セミテイムな有理関数芽（分岐ファイバーが $f$ と $g$ のみであるもの）の新しい特徴付けを提供する。ペア $(f, g)$ がセミテイムであるための必要十分条件は $\tau(f, g) = \tau(fg)$ である。この条件は $\mu(f, g) = \mu(fg)$ であることと同値であると示される。

• ペアに対するテイシエの補題（Teissier's Lemma）： 均衡分割沿いのペアの極交差数が、ペアのミルナー数に関連する、ペアに対するテイシエの補題のバージョンが確立される：
  $$i_0((f, g), B) = \mu(f, g) + \nu(f) + \nu(g) - 1$$
  ここで $\nu$ は代数的乗数である。

• 上界と応用：

  • $\mu(f, g)$ の上界が導出される：$\mu(f, g) \leq 2\tau(fgh_1 \dots h_r) - 2r(r+2)I_0(f, g)$。
  • これらの結果は、$\mathbb{P}^2$ における代数曲線の生成的ペンシルに適用される。本論文は、特異なメンバーのグローバル・ミルナー数の和に関するDimcaの公式 $\sum \mu(C^s_j) = 3(k-1)^2$ に対する代替的な証明を提供し、これに関連するグローバル・テューリナ数の和に関する不等式 $\frac{9}{4}(k-1)^2 < \sum \tau(C^s_j) \leq 3(k-1)^2$ を導出し、上界において等号が成立するのはすべての特異点が準同次型である場合のみであることを示している。

意義
本論文は、単一の正則関数から関数のペア（有理的な芽）へと、特異点の古典的な理論を拡張することによってその意義を主張している。$\tau(f, g)$ を導入することで、著者らは曲線のペンシルの文脈におけるミルナー数とテューリナ数の間の並行関係を完成させている。本研究は、これらの不変量のための明示的な計算ツール（公式）を提供し、その位相的および解析的な性質を明確にする。特に、テューリナ数によるセミテイムな芽の特徴付けは、有理的な関数の構造に対する新しい視点を提供する。さらに、代数曲線の生成的ペンシルへの適用は、局所的な特異点理論を大域的な幾何学的性質へと結びつけ、Dimcaによる既存の結果に対する代替的な証明を提供し、この文脈におけるテューリナ数の新しい境界を確立している。