On Milnor and Tjurina numbers of Pairs of Holomorphic Functions Germs

Technische Samenvatting: Milnor- en Tjurina-getallen van paren van holomorfe functiegerms

Probleemstelling
De studie van numerieke invarianten voor holomorfe functiegerms met geïsoleerde singulariteiten is een centraal onderwerp in de singulariteitstheorie, waarbij de primaire focus ligt op het Milnor-getal $\mu(f)$ en het Tjurina-getal $\tau(f)$. Echter, numerieke invarianten geassocieerd met meromorfe functiegerms $f/g$ hebben minder aandacht gekregen. Recentelijk heeft A. Szawlowski een Milnor-getal van een paar $(f, g)$ geïntroduceerd, aangeduid als $\mu(f, g)$, wat geïnterpreteerd kan worden als het Milnor-getal van de meromorfe functie $f/g$. Deze invariant wordt afgeleid van de singuliere holomorfe foliatie $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ gedefinieerd door de 1-vorm $\omega_{f/g} = gdf - fdg$.

Het primaire probleem dat in dit artikel wordt behandeld, is de afwezigheid van een overeenkomend Tjurina-getal voor paren van holomorfe functies. Hoewel $\mu(f, g)$ is vastgesteld, zijn een definitie en karakterisering van het Tjurina-getal van een paar, $\tau(f, g)$, nodig om een volledig analytisch invariant kader voor meromorfe germs en de bijbehorende bundels van curven te bieden.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de theorie van singuliere holomorfe foliaties om deze invarianten te definiëren en te analyseren. De kernmethodologie omvat:

1. Associatie met foliaties: Het associëren van het paar $(f, g)$ met de foliatie $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ gegenereerd door de bundel van curven $\mathcal{P}_{f,g} = \{ \alpha f + \beta g = 0 \}$.
2. Relatieve Tjurina-getallen: Het gebruikmaken van het concept van het Tjurina-getal van een foliatie $\mathcal{F}$ ten opzichte van een invariante gereduceerde curve $C$, gedefinieerd als $\tau(\mathcal{F}, C) = \dim_{\mathbb{C}} \mathcal{O}_2 / (P, Q, h)$, waarbij $\omega = Pdx + Qdy$ en $C = \{h=0\}$.
3. Gebalanceerde divisoren van separatrices: Het toepassen van de theorie van gebalanceerde divisoren van separatrices (geïntroduceerd door Genzmer) voor de foliatie $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$. Deze divisoren worden geconstrueerd met behulp van bifurcatiefibers (singuliere leden van de bundel) en generieke fibers.
4. Analytische invariantie: Het bewijzen dat de voorgestelde invarianten onafhankelijk zijn van de specifieke keuze van een gebalanceerde divisor, waarmee wordt vastgesteld dat het welgedefinieerde analytische invarianten zijn.
5. Intersectietheorie en formules: Het afleiden van expliciete formules door de invarianten van het paar te relateren aan de intersectieveelvoud $I_0(f, g)$, de Tjurina-getallen van individuele fibers en de GSV-index (Gómez-Mont, Seade, Verjovsky).

Belangrijkste bijdragen en resultaten

• Definitie van $\tau(f, g)$: Het artikel introduceert het Tjurina-getal van een paar $(f, g)$, aangeduid als $\tau(f, g)$, gedefinieerd als het Tjurina-getal van de foliatie $\mathcal{F}_{\omega_{f/g}}$ ten opzichte van een willekeurige primitieve gebalanceerde divisor van separatrices aangepast aan de curve $fg=0$. De auteurs bewijzen dat deze definitie onafhankelijk is van de keuze van de gebalanceerde divisor.

• Expliciete formules:

  • Fiber-wijze relatie: Voor een specifieke fiber $C_{[\alpha:\beta]}$ van de bundel stelt het artikel vast dat $\tau_{[\alpha:\beta]}(f, g) = I_0(f, g) + \tau(C_{[\alpha:\beta]})$.
  • Algemene formule: Een expliciete formule voor $\tau(f, g)$ wordt afgeleid in termen van de Tjurina-getallen van de nul- en pooldivisoren van een gebalanceerde divisor, het aantal bifurcatie-separatrices $r$, en de intersectieveelvoud $I_0(f, g)$. Specifiek geldt $\tau(f, g) = \tau(B_0) - \tau(B_\infty) + r(r-2)I_0(f, g)$.
  • Bifurcatieformule: Een bifurcatieformule voor $\tau(f, g)$ wordt vastgesteld, analoog aan de bekende formule voor $\mu(f, g)$:
    $$\tau(f, g) = \tau(fg) + \sum_{j=1}^r (\tau(h_j) - \tau_{\text{gen}}) + r^2 I_0(f, g) + \Theta_{B_0} + \Theta_{h_1 \dots h_r} - \Theta_{B_\infty}$$
    waarbij $h_j$ bifurcatie-fibers zijn en $\tau_{\text{gen}}$ het generieke Tjurina-getal is.

• Topologisch versus Analytisch karakter: Het artikel demonstreert dat, hoewel het generieke Milnor-getal van een paar een topologische invariant is, het generieke Tjurina-getal van een paar niet een topologische invariant is. Dit wordt aangetoond via een voorbeeld waarbij topologisch equivalente paren verschillende generieke Tjurina-getallen opleveren.

• Karakterisering van semitame germs: De auteurs bieden een nieuwe karakterisering van semitame meromorfe functiegerms (die waarvan de enige bifurcatie-fibers $f$ en $g$ zijn). Een paar $(f, g)$ is semitaam als en slechts als $\tau(f, g) = \tau(fg)$. Deze conditie blijkt equivalent te zijn aan $\mu(f, g) = \mu(fg)$.

• Teissier's Lemma voor paren: Een versie van Teissier's Lemma wordt vastgesteld voor paren, die de polaire intersectieveelvoud van het paar langs een gebalanceerde divisor relateert aan het Milnor-getal van het paar:
  $$i_0((f, g), B) = \mu(f, g) + \nu(f) + \nu(g) - 1$$
  waarbij $\nu$ de algebraïsche veelvoud aanduidt.

• Bovengrenzen en toepassingen:

  • Een bovengrens voor $\mu(f, g)$ wordt afgeleid: $\mu(f, g) \leq 2\tau(fgh_1 \dots h_r) - 2r(r+2)I_0(f, g)$.
  • De resultaten worden toegepast op generieke bundels van algebraïsche curven in $\mathbb{P}^2$. Het artikel biedt een alternatief bewijs voor Dimca's formule betreffende de som van de globale Milnor-getallen van singuliere leden in een generieke bundel, waarbij wordt getoond dat $\sum \mu(C^s_j) = 3(k-1)^2$.
  • Een overeenkomstige ongelijkheid voor de som van globale Tjurina-getallen wordt afgeleid: $\frac{9}{4}(k-1)^2 < \sum \tau(C^s_j) \leq 3(k-1)^2$, waarbij gelijkheid in de bovenste bovengrens optreedt indien en slechts indien alle singulariteiten quasi-homogeen zijn.

Betekenis
Het artikel claimt significant te zijn door de klassieke singulariteitentheorie voor enkelvoudige holomorfe functies uit te breiden naar paren van functies (meromorfe germs). Door de introductie van $\tau(f, g)$ voltooien de auteurs de parallelliteit tussen Milnor- en Tjurina-getallen in de context van bundels van curven. Het werk biedt expliciete computationele instrumenten (formules) voor deze invarianten en verheldert hun topologische en analytische eigenschappen. Met name de karakterisering van semitame germs via het Tjurina-getal biedt een nieuw perspectief op de structuur van meromorfe functies. Bovendien verbindt de toepassing op generieke bundels van algebraïche curven lokale singulariteitentheorie met globale geometrische eigenschappen, wat een alternatief bewijs biedt voor bestaande resultaten van Dimca en nieuwe grenzen vaststelt voor Tjurina-getallen in deze context.