Low-$x$ parton densities accounting for absorptive effects and exclusive $J/\psi$ and $\Upsilon$ data from the LHC

技术摘要：考虑吸收效应的低 $x$ 部分子密度以及来自 LHC 的排他性 $J/\psi$ 和 $\Upsilon$ 数据

问题陈述
低纵向动量分数（$x$）下的部分子分布函数（PDF）对于理解高能强子相互作用至关重要。虽然来自 HERA 的包含性深度非弹性散射（DIS）数据提供了主要约束，但在极小 $x$ 和低因子化标度（$\mu_F$）处，不确定性迅速增加。LHC 中排他性重矢量介子（$J/\psi$ 和 $\Upsilon$）的产生提供了补充性的探测手段，将对胶子 PDF 的知识延伸到了 $x \simeq 3 \times 10^{-6}$ 以及标度 $\mu_F \simeq m_q$ 的区域。然而，在这些低标度和小 $x$ 处，线性 DGLAP 演化是不充分的；吸收（屏蔽）效应变得显著，这些效应渐近地导致部分子饱和。以往在利用线性演化将排他性 LHC 数据纳入 PDF 拟合时，需要对输入胶子参数化进行特设（ad-hoc）修改（具体为引入一个“负胶子组分”），这可能掩盖了非线性演化的底层物理机制。

方法论
作者对包含性 HERA DIS 数据和来自 LHC（特别是 LHCb $J/\psi$ 和 $\Upsilon$）的排他性重矢量介子产生数据进行了联合全局分析。其核心方法论创新在于实现了直接将吸收修正纳入演化机制的非线性 DGLAP 演化方程。

1. 非线性演化框架：

   • 标准的 DGLAP 方程通过引入取决于胶子密度和部分子分布横向空间尺度（$R$）的吸收屏蔽因子 $F_g$ 和 $F_q$ 进行了修正。
   • 这些因子源自多胶子屏蔽的 eikonal 化近似，通过对胶子梯度的贡献进行求和。胶子的屏蔽因子由 $F_g = \exp\left(-\frac{C_A 9 \alpha_s \pi}{16 R^2 \mu_F^2} x'g(x', \mu_F^2)\right)$ 给出。
   • 耦合的胶子与单态夸克演化方程是在扩展版的 APFEL++ 中直接求解的，该工具与 xFitter 相结合。与可以使用预计算算符的线性演化不同，非线性项要求在演化变量 $t = \ln \mu_F^2$ 中进行逐步求解，因为屏蔽因子依赖于运行标度。

2. 数据与参数化：

   • 拟合利用了 HERA Run I+II 中性与电荷电流数据，以及从 13 TeV LHCb 排他性 $J/\psi$ 和 $\Upsilon$ 产生中提取的有效胶子 PDF 点。
   • 在标度 $Q_0 = 1.54$ GeV 处的输入 PDF 使用标准函数形式（$x^B(1-x)^C$）进行参数化，未包含此前 HERAPDF2.0 中用于模拟低 $x$ 行为的“负胶子组分”项（$A'_g$）。
   • 控制吸收修正强度的参数 $R$ 被视为自由参数，通过最小化 $\chi^2$ 来确定。

3. NNLO 方法：*

   • 由于目前尚未获得排他性矢量介子产生的完整 NNLO 系数函数，作者采用了 NNLO* 方法。
   • 这涉及对包含性 DIS 数据使用 NNLO 精度，同时通过常数 NNLO/NLO $K$ 因子（$K \approx 1.2 \pm 0.1$）来近似排他性过程。该 $K$ 因子是通过对比基于 NNLO 的计算与 NLO 系数函数，针对 HERA 排他性光致产生数据确定的。有效胶子点通过该因子进行缩放，其不确定性被视为相关系统误差。

关键结果

• 吸收效应的影响： 与线性演化拟合相比，包含吸收修正会导致在低 $x$ 区域（$10^{-5} < x < 0.1$）具有更大的输入胶子分布。这是因为非线性演化会抑制胶子密度的增长；因此，需要更大的初始密度才能重现相同的数据。
• 拟合质量与稳定性：
  • NLO： 结合排他性数据的非线性拟合得到的全局 $\chi^2/\text{d.o.f.} \approx 1.18$，显著优于线性拟合（$\approx 1.25$）。线性拟合难以在不人为增大低 $x$ 幂次（$\lambda$）或依赖负胶子组分的情况下，同时描述包含性 DIS 和排他性数据。
  • NNLO：* 观察到类似的改进。非线性拟合实现的 $\chi^2 = 1416$（1166 d.o.f.），而线性情况下的 $\chi^2 = 1495$。
• 负胶子组分的冗余性： 当包含吸收修正时，“负胶子组分”项（$A'_g$）变得冗余。包含非线性演化的拟合表明，$A'_g$ 项仅能提供边际的 $\chi^2$ 改善（例如，在 NNLO* 中将 $\chi^2$ 从 1416 降至 1412），而在线性拟合中，该项对于描述排他性数据是必不可少的。非线性演化自然地解释了此前 $A'_g$ 项所补偿的抑制效应。
• 热点大小的确定： 通过拟合参数 $R$，作者确定了质子中“热点”（hot spots）的有效大小。
  • 在 NLO 下，最佳拟合值 $R \approx 3.6 \text{ GeV}^{-1}$。
  • 在 NNLO* 下，最佳拟合值 $R \approx 3.3 \text{ GeV}^{-1}$。
  • 假设质子波函数具有 $n=3$ 个热点，这对应于热点半径 $R_{h.s.} \approx 2.57 \text{ GeV}^{-1}$ (NLO)。这是首次直接从包含排他性数据的全局 PDF 拟合中评估热点大小。
• 不确定性： 包含排他性数据显著降低了极低 $x$ 处胶子 PDF 的不确定性。与参数 $R$ 相关的不确定性被发现很小，且在 $\chi^2$ 图谱中存在明显的极小值。

意义与主张
本文声称，吸收修正对于一致性地描述结合了包含性 DIS 和排他性重矢量介子数据的数据集是必不可少的。其主要意义在于：

1. 物理一致性： 证明了非线性演化可以在不需要像负胶子组分这类特设参数化的情况下，自然地解决包含性与排他性数据之间的张力。
2. 方法论进步： 成功在标准的 APFEL++/xFitter 框架内实现了非线性 DGLAP 演化，使其可用于未来的全局分析。
3. 质子结构： 基于全局 PDF 拟合，提供了对质子波函数中“热点”大小的首次定量估计（$R_{h.s.} \approx 2.5-2.6 \text{ GeV}^{-1}$）。
4. 未来影响： 作者指出，未来的全局 PDF 测定，特别是旨在约束小 $x$、低 $Q^2$ 区域胶子密度的研究，应当纳入这些吸收效应，以避免出现非物理的局部极小值并提高准确性。

作者对于观测到饱和效应保持审慎态度，指出虽然确定了热点大小，但由于热点相对于饱和标度而言尺寸较大，饱和效应在当前数据中“几乎看不见”。