Low-$x$ parton densities accounting for absorptive effects and exclusive $J/\psi$ and $\Upsilon$ data from the LHC

技術要約：吸収効果を考慮した低xパトンド密度、およびLHCにおける排他的な $J/\psi$ および $\Upsilon$ データ

問題提起
低縦方向運動量分率（$x$）におけるパトンド分布関数（PDF）は、高エネルギー強子相互作用を理解する上で極めて重要である。HERAによる包括的なディープインエラスティック散乱（DIS）データは主要な制約を与えるが、$x$ が非常に小さく、因子化スケール（$\mu_F$）が低い場合には不確実性が急速に増大する。LHCにおける重いベクトル中間子（$J/\psi$ および $\Upsilon$）の排他的生成は、グルオンPDFの知識を $\mu_F \simeq m_q$ のスケールまで $\text{x} \simeq 3 \times 10^{-6}$ へと拡張する補完的なプローブを提供する。しかし、これらの低いスケールかつ小さな $x$ においては、線形DGLAP進化では不十分であり、吸収（スクリーニング）効果、すなわち漸近的にパトン飽和へと至る効果が顕著になる。線形進化を用いたPDFフィットにLHCの排他的データを取り入れた従来の解析では、低 $x$ の挙動を模倣するために、入力グルオン・パラメトリゼーションへのアドホックな修正（具体的には「負のグルオン成分」）が必要であったが、これは非線形進化の背後にある物理を覆い隠してしまう可能性がある。

手法
著者らは、包括的なHERA DISデータと、LHC（具体的にはLHCbの $J/\psi$ および $\Upsilon$）からの排他的な重いベクトル中間子生成データの結合グローバル解析を行う。中心となる手法上の革新は、吸収補正を進化のメカニズムに直接組み込んだ非線形DGLAP進化方程式の実装である。

1. 非線形進化フレームワーク:

   • 標準的なDGLAP方程式は、グルオン密度とパトンの横方向の空間的広がり（$R$）に依存する吸収スクリーニング因子 $F_g$ および $F_q$ を導入することで修正される。
   • これらの因子は、グルオンラダーの寄与を総和する、多重グルオン・スクリーニングのエイコナル近似から導出される。グルオンのスクリーニング因子は $F_g = \exp\left(-\frac{C_A 9 \alpha_s \pi}{16 R^2 \mu_F^2} x'g(x', \mu_F^2)\right)$ で与えられる。
   • 結合されたグルオンおよびシングレット・クォークの進化方程式は、APFEL++ の拡張版内で直接解かれ、これは xFitter とインターフェースされている。線形進化では、事前計算された演算子が使用できるが、非線形項ではスクリーニング因子がランニングスケールに依存するため、進化変数 $t = \ln \mu_F^2$ に沿ってステップ・バイ・ステップでシステムを解く必要がある。

2. データとパラメトリゼーション:

   • フィットには、HERA Run I+II の中性および荷電電流データ、およびLHC（13 TeV）での排他的な $J/\psi$ および $\Upsilon$ 生成から抽出された有効グルオンPDFポイントを使用する。
   • スケール $Q_0 = 1.54$ GeV における入力PDFは、HERAPDF2.0で低 $x$ の挙動を模倣するために以前使用されていた「負のグルオン成分」項（$A'_g$）を用いず、標準的な関数形式（$x^B(1-x)^C$）を用いてパラメトリゼーションされる。
   • 吸収補正の強さを制御するパラメータ $R$ は、$\chi^2$ を最小化することによって決定される自由パラメータとして扱われる。

3. NNLO アプローチ:*

   • 排他的なベクトル中間子生成に対する完全なNNLO係数関数はまだ利用できないため、著者らは NNLO* メソッドを採用している。
   • これは、包括的なDISデータに対してNNLO精度を使用しつつ、排他的プロセスを一定のNNLO/NLO $K$-因子（$K \approx 1.2 \pm 0.1$）によって近似するというものである。この $K$-因子は、NNLOベースの計算とNLO係数関数を、HERAの排他的光生成データに対して比較することによって決定される。有効グルオンポイントはこの因子によって再スケーリングされ、その不確実性は相関系統誤差として扱われる。

主な結果

• 吸収補正の影響: 吸収補正を含めると、線形進化のフィットと比較して、低 $x$ ($10^{-5} < x < 0.1$) における入力グルオン分布が大きくなる。これは、非線形進化がグルオン密度の成長を抑制するため、同じデータを再現するためには、より大きな初期密度が必要となるためである。
• フィットの質と安定性:
  • NLO: 非線形フィットに排他的データを組み合わせると、グローバルな $\chi^2/\text{d.o.f.} \approx 1.18$ が得られ、これは線形フィット（$\approx 1.25$）よりも有意に良好である。線形フィットは、低 $x$ のべき指数（$\lambda$）を人工的に増大させるか、あるいは負のグルオン成分に頼ることなく、DISと排他的データの両方を同時に記述することに苦慮している。
  • NNLO:* 同様の改善が見られる。非線形フィットは $\chi^2 = 1416$ (1166 d.o.f.) を達成しており、これは線形の場合の $\chi^2 = 1495$ と比較して優れている。
• 負のグルオン成分の冗長性: 吸収補正が含まれる場合、「負のグルオン成分」項（$A'_g$）は冗長となる。非線形進化を含むフィットでは、$A'_g$ 項による $\chi^2$ の改善はわずかであり（例：NNLO*において $\chi^2$ を1416から1412へ減少）、線形フィットにおいては、この項が排他的データを記述するために不可欠であった。非線形進化は、以前 $A'_g$ 項が補完していた抑制効果を自然に説明している。
• ホットスポットサイズの決定: パラメータ $R$ をフィットすることにより、著者らは陽子内の「ホットスポット」の有効なサイズを決定した。
  • NLOにおいて、最適値は $R \approx 3.6 \text{ GeV}^{-1}$ である。
  • NNLO* において、最適値は $R \approx 3.3 \text{ GeV}^{-1}$ である。
  • 陽子の波動関数を $n=3$ 個のホットスポットを持つと仮定すると、これはホットスポット半径 $R_{h.s.} \approx 2.57 \text{ GeV}^{-1}$ (NLO) に相当する。これは、グローバルPDFフィットから直接導出されたホットスポットサイズの最初の評価である。
• 不確実性: 排他的データの包含は、非常に低い $x$ におけるグルオンPDFの不確実性を大幅に減少させる。パラメータ $R$ に関連する不確実性は小さいことが判明しており、$\chi^2$ プロファイルには明確な最小値が存在する。

意義と主張
論文は、包括的なDISデータと排他的な重いベクトル中間子データを一貫して記述するためには、吸収補正が不可欠であると主張している。主な意義は以下の通りである：

1. 物理的一貫性: 非線形進化が、負のグルオン成分のようなアドホックなパラメトリゼーションを必要とすることなく、包括的データと排他的データの間の緊張関係を自然に解決することを実証した。
2. 方法論的進展: 非線形DGLAP進化を標準的なAPFEL++/xFitterフレームワーク内に実装することに成功し、将来のグローバル解析への利用を可能にした。
3. 陽子構造: グローバルPDFフィットに基づき、陽子の波動関数における「ホットスポット」のサイズ（$R_{h.s.} \approx 2.5-2.6 \text{ GeV}^{-1}$）の最初の定量的推定値を提供した。
4. 将来への影響: 著者らは、特に低 $x$、低 $Q^2$ 領域におけるグルオン密度を制約しようとする将来のグローバルPDF決定において、不自然な局所解を避け、精度を向上させるために、これらの吸収効果を取り入れるべきであると示唆している。

著者らは、ホットスポットのサイズが飽和スケールに対して比較的大きいため、現在のデータでは飽和の観測については「ほとんど見られない」とし、飽和の観測に関する記述については控えめな姿勢を保っている。