Quantifying internal variability in large-ensemble climate data with the Wasserstein distance

技术摘要：利用 Wasserstein 距离量化大样本气候数据的内部变率

问题陈述
量化强迫变率（forced variability）与内部变率（internal variability）的相对贡献，对于检测气候变化信号和评估投影不确定性至关重要。单模型初始条件大样本集合（SMILEs）是实现这一目标的标准工具，其中集合平均值代表强迫变率，而残差则代表内部变率。现有的比较这些组成部分的指标主要依赖于方差（例如 $\gamma_{var}$）或信息论量（例如香农熵和互信息，例如 $\gamma_{info}$）。然而，基于方差的指标无法充分捕捉非高斯分布，而这类分布在气候变量中十分常见（例如偏态或重尾分布的降水）。相反，信息论指标虽然对非高斯性具有鲁棒性，但需要将数据分箱（binning）进直方图，这引入了对任意参数（箱宽和范围）的依赖，并增加了计算复杂度。因此，需要一种能够反映整个分布形状、处理非高斯性和离群值，且不需要额外参数的指标。

方法论
作者提出了一种基于一维实数集 ($\mathbb{R}^1$) 上 1-Wasserstein 距离（最优传输代价）的新指标 $\gamma_{W1}$。

1. 定义：

   • 令 $x_{n,t}$ 为第 $n$ 个集合成员在时间 $t$ 的气候变量。
   • 集合平均值 $m_t$ 被定义为强迫变率。
   • 残差 $\eta_{n,t} = x_{n,t} - m_t$ 被定义为内部变率。
   • 总平均值 $m$ 是 $m_t$ 的时间平均值。

2. 指标构建：

   • 内部变率的大小 ($w_{int}$) 计算为所有样本的分布 ($x_{n,t}$) 与集合平均值的分布 ($m_t$) 之间的 1-Wasserstein 距离。
   • 强迫变率的大小 ($w_{ext}$) 计算为集合平均值的分布 ($m_t$) 与总平均值 ($m$) 之间的 1-Wasserstein 距离。
   • 为了计算这些距离，作者将 $x_{n,t}$ 的 $N_{ens} \times N_T$ 个值以及重复的 $m_t$ 值按升序排列。该距离即为对应分位数之间绝对差值的平均值。
   • 最终指标为比率：
     $$\gamma_{W1} := \frac{w_{int}}{w_{int} + w_{ext}}$$
   • 该比率范围从 0 到 1，数值越高表示内部变率的相对贡献越大。

3. 计算优势：

   • 该方法仅需排序和对分位数进行差分运算。
   • 它不涉及额外的参数（不同于直方图分箱）。
   • 它适用于任何分布形状，包括非高斯变量。

验证与结果
本研究利用合成气候数据（高斯、均匀和对数正态分布）验证了 $\gamma_{W1}$，并将其应用于社区地球系统模型大样本集合（CESM-LE）在历史（20C）和 RCP8.5 强迫情景下的 2 米气温和总降水量。

• 合成数据分析：

  • 鲁棒性： 与 $\gamma_{var}$（对离群值敏感）和 $\gamma_{info}$（对离群值和分箱选择敏感）不同，$\gamma_{W1}$ 无论在何种分布形状或是否存在离群值的情况下，都能提供稳定的估计。
  • 集合规模： 指标的稳定性取决于集合规模 ($N_{ens}$)。当 $N_{ens} \approx 40$ 或更多时，估计变得可靠。低于此阈值时，集合平均值中的抽样误差会影响该指标。
  • 比较： $\gamma_{W1}$ 比 $\gamma_{info}$（需要搜索最优箱数，$O(NB)$）在计算上更高效，但比 $\gamma_{var}$（$O(N)$ 对比排序的 $O(N \log N)$）略低效。

• CESM-LE 应用：

  • 温度： 所有指标都表明，随着辐射强迫的增加（从 20C 到 RCP8.5），内部变率的相对贡献都在下降。然而，$\gamma_{W1}$ 显示出这种响应最清晰的信号，其差异图中的振幅最大。
  • 降水： 降水数据通常表现出重尾、非高斯分布。在两种强迫情景下，$\gamma_{var}$ 在全球范围内趋于饱和（接近 1），而 $\gamma_{info}$ 显示的变化极小，未能检测到对增加强迫的响应。相比之下，$\gamma_{W1}$ 没有出现饱和现象，揭示了清晰的空间结构（例如在高纬度和热带海洋地区内部变率减少），并成功检测到了强迫响应。

核心贡献

1. 新颖指标： 引入了基于最优传输的无参数指标 $\gamma_{W1}$，用于量化内部变率的相对大小。
2. 分布无关性： 该指标能够捕捉整个分布形状，使其适用于方差法失效的非高斯和重尾气候变量。
3. 鲁棒性： 证明了在集合规模足够（$N_{ens} \gtrsim 40$）的前提下，该指标对离群值具有稳定性，且独立于任意参数（如箱宽）。
4. 实证验证： 对 CESM-LE 的应用表明，对于降水等变量，$\gamma_{W1}$ 在检测内部变率相对于强迫变率的变化方面比现有指标更有效。

意义与主张
论文声称，1-Wasserstein 距离为分析大样本数据集提供了一个“简单且有用的工具”。作者将 $\gamma_{W1}$ 定位为处理非高斯数据的方差指标的优选替代方案，以及比信息论指标更鲁棒、无参数的替代方案。研究表明，$\gamma_{W1}$ 能为气候投影中的内部变率相对于强迫变率的变化提供更清晰的信号，特别是对于具有复杂分布特性的变量。作者指出，尽管该指标非常有效，但使用这一新工具对内部变率和强迫变率的具体成因进行详细分析仍是未来工作的主题。他们还概述了潜在的扩展方向，例如使用 Wasserstein 重心（Wasserstein barycenters）作为集合平均值，以及将该指标应用于多模型集合以解决模型不确定性问题。