Quantifying internal variability in large-ensemble climate data with the Wasserstein distance

Resumo Técnico: Quantificando a Variabilidade Interna em Dados Climáticos de Grandes Conjuntos com a Distância de Wasserstein

Definição do Problema
Quantificar as contribuições relativas da variabilidade forçada e da variabilidade interna é essencial para detectar sinais de mudanças climáticas e avaliar a incerteza das projeções. Os Grandes Conjuntos de Condição Inicial de Modelo Único (SMILEs) são a ferramenta padrão para isso, onde a média do conjunto representa a variabilidade forçada e o resíduo representa a variabilidade interna. As métricas existentes para comparar esses componentes baseiam-se primariamente na variância (ex: $\gamma_{var}$) ou em quantidades informacionais (ex: $\gamma_{info}$), como a entropia de Shannon e a informação mútua. No entanto, métricas baseadas em variância falham em capturar adequadamente distribuições não-gaussianas, que são comuns em variáveis climáticas (ex: precipitação enviesada ou de cauda pesada). Por outro lado, métricas informacionais, embora robustas à não-gaussianidade, exigem a divisão dos dados em histogramas, introduzindo dependência de parâmetros arbitrários (largura e intervalo de bins) e aumentando a complexidade computacional. Há uma necessidade de uma métrica que reflita a forma de toda a distribuição, lide com não-gaussianidade e valores atípicos (outliers), e não requeira parâmetros adicionais.

Metodologia
Os autores propõem uma nova métrica, $\gamma_{W1}$, baseada na distância de 1-Wasserstein (custo de transporte ótimo) na reta real unidimensional ($\mathbb{R}^1$).

1. Definições:

   • Seja $x_{n,t}$ a variável climática para o membro do conjunto $n$ no tempo $t$.
   • A média do conjunto $m_t$ é definida como variabilidade forçada.
   • O resíduo $\eta_{n,t} = x_{n,t} - m_t$ é definido como variabilidade interna.
   • A média total $m$ é a média temporal de $m_t$.

2. Construção da Métrica:

   • A magnitude da variabilidade interna ($w_{int}$) é calculada como a distância de 1-Wasserstein entre a distribuição de todas as amostras ($x_{n,t}$) e a distribuição da média do conjunto ($m_t$).
   • A magnitude da variabilidade forçada ($w_{ext}$) é a distância de 1-Wasserstein entre a distribuição da média do conjunto ($m_t$) e a média total ($m$).
   • Para computar essas distâncias, os autores ordenam os $N_{ens} \times N_T$ valores de $x_{n,t}$ e os valores replicados de $m_t$ em ordem ascendente. A distância é a diferença absoluta média entre os quantis correspondentes.
   • A métrica final é a razão:
     $$\gamma_{W1} := \frac{w_{int}}{w_{int} + w_{ext}}$$
   • Esta razão varia de 0 a 1, onde valores mais altos indicam uma maior contribuição relativa da variabilidade interna.

3. Vantagens Computacionais:

   • O método requer apenas ordenação e diferenciação de quantis.
   • Não envolve parâmetros adicionais (ao contrário da divisão em bins de histogramas).
   • Aplica-se a qualquer forma de distribuição.

Validação e Resultados
O estudo valida o $\gamma_{W1}$ utilizando dados climáticos sintéticos (distribuições Gaussianas, uniformes e log-normais) e aplica-o ao Community Earth System Model Large Ensemble (CESM-LE) para temperatura do ar a 2 m e precipitação total sob cenários históricos (20C) e RCP8.5.

• Análise de Dados Sintéticos:

  • Robustez: Ao contrário do $\gamma_{var}$ (sensível a outliers) e do $\gamma_{info}$ (sensível a outliers e escolhas de binning), o $\gamma_{W1}$ fornece estimativas estáveis independentemente da forma da distribuição ou da presença de outliers.
  • Tamanho do Conjunto: A estabilidade da métrica depende do tamanho do conjunto ($N_{ens}$). As estimativas tornam-se confiáveis quando $N_{ens} \approx 40$ ou mais. Abaixo deste limiar, o erro de amostragem na média do conjunto afeta a métrica.
  • Comparação: O método é computacionalmente mais eficiente que o $\gamma_{info}$ (que requer a busca pelo número ideal de bins, $O(NB)$), mas ligeiramente menos eficiente que o $\gamma_{var}$ ($O(N \log N)$ para ordenação vs. $O(N)$).

• Aplicação ao CESM-LE:

  • Temperatura: Todas as métricas indicaram que a contribuição relativa da variabilidade interna diminui conforme o forçamento radiativo aumenta (de 20C para RCP8.5). No entanto, o $\gamma_{W1}$ mostrou o sinal mais claro desta resposta, com a maior amplitude nos mapas de diferença.
  • Precipitação: Dados de precipitação frequentemente exibem distribuições de cauda pesada e não-gaussianas. Sob ambos os cenários de forçamento, o $\gamma_{var}$ saturou próximo a 1 globalmente, e o $\gamma_{info}$ mostrou mudanças mínimas, falhando em detectar a resposta ao aumento do forçamento. Em contraste, o $\gamma_{W1}$ não saturou, revelando estruturas espaciais claras (ex: redução da variabilidade interna em altas latitudes e nos oceanos tropicais) e detectando com sucesso a resposta forçada.

Principais Contribuições

1. Métrica Inovadora: Introdução do $\gamma_{W1}$, uma métrica livre de parâmetros baseada em transporte ótimo que quantifica a magnitude relativa da variabilidade interna.
2. Agnosticismo de Distribuição: A métrica captura a forma completa da distribuição, tornando-a adequada para variáveis climáticas não-gaussianas e de cauda pesada onde métodos baseados em variância falham.
3. Robustez: Demonstrou estabilidade contra outliers e independência de parâmetros arbitrários (como largura de bin), desde que o tamanho do conjunto seja suficiente ($N_{ens} \gtrsim 40$).
4. Validação Empírica: A aplicação ao CESM-LE demonstra que o $\gamma_{W1}$ é mais eficaz que as métricas existentes para detectar mudanças na variabilidade interna em relação à variabilidade forçada, particularmente para precipitação.

Significância e Alegações
O artigo afirma que a distância de 1-Wasserstein fornece uma "ferramenta simples e útil" para analisar conjuntos de dados de grandes modelos. Os autores posicionam o $\gamma_{W1}$ como uma alternativa superior às métricas baseadas em variância para dados não-gaussianos e uma alternativa mais robusta e livre de parâmetros às métricas informacionais. O estudo sugere que o $\gamma_{W1}$ oferece um sinal mais claro da resposta forçada em projeções climáticas, especialmente para variáveis com propriedades distributivas complexas. Os autores observam que, embora a métrica seja eficaz, uma análise detalhada das causas específicas da variabilidade interna e forçada usando esta nova ferramenta permanece como um tema para trabalhos futuros. Eles também delineiam potenciais extensões, como o uso de baricentros de Wasserstein para médias de conjuntos e a aplicação da métrica a conjuntos de múltiplos modelos para abordar a incerteza do modelo.