Quantifying internal variability in large-ensemble climate data with the Wasserstein distance

Resumen Técnico: Cuantificación de la Variabilidad Interna en Datos Climáticos de Grandes Conjuntos mediante la Distancia de Wasserstein

Planteamiento del Problema
Cuantificar las contribuciones relativas de la variabilidad forzada e interna es esencial para detectar señales de cambio climático y evaluar la incertidumbre en las proyecciones. Los Conjuntos Grandes de Inicialización de Modelo Único (SMILEs, por sus siglas en inglés) son la herramienta estándar para esto, donde la media del conjunto representa la variabilidad forzada y el residuo representa la variabilidad interna. Las métricas existentes para comparar estos componentes dependen principalmente de la varianza (por ejemplo, $\gamma_{var}$) o de cantidades informacionales (por ejemplo, $\gamma_{info}$, basada en la entropía de Shannon y la información mutua). Sin embargo, las métricas basadas en la varianza no logran capturar adecuadamente las distribuciones no gaussianas, que son comunes en las variables climáticas (por ejemplo, la precipitación sesgada o con colas pesadas). Por el contrario, las métricas de teoría de la información, aunque son robustas ante la no gaussianidad, requieren el agrupamiento de los datos en histogramas, lo que introduce una dependencia de parámetros arbitrarios (ancho de bin y rango) y aumenta la complejidad computacional. Existe la necesidad de una métrica que refleje la forma de la distribución completa, maneje la no gaussianidad y los valores atípicos, y no requiera parámetros adicionales.

Metodología
Los autores proponen una nueva métrica, $\gamma_{W1}$, basada en la distancia de 1-Wasserstein (costo de transporte óptimo) en la recta real unidimensional ($\mathbb{R}^1$).

1. Definiciones:

   • Sea $x_{n,t}$ la variable climática para el miembro del conjunto $n$ en el tiempo $t$.
   • La media del conjunto $m_t$ se define como la variabilidad forzada.
   • El residuo $\eta_{n,t} = x_{n,t} - m_t$ se define como la variabilidad interna.
   • La media total $m$ es el promedio temporal de $m_t$.

2. Construcción de la Métrica:

   • La magnitud de la variabilidad interna ($w_{int}$) se calcula como la distancia de 1-Wasserstein entre la distribución de todas las muestras ($x_{n,t}$) y la distribución de la media del conjunto ($m_t$).
   • La magnitud de la variabilidad forzada ($w_{ext}$) es la distancia de 1-Wasserstein entre la distribución de la media del conjunto ($m_t$) y la media total ($m$).
   • Para calcular estas distancias, los autores ordenan los valores de $N_{ens} \times N_T$ de $x_{n,t}$ y los valores replicados de $m_t$ en orden ascendente. La distancia es la diferencia absoluta promedio entre los cuantiles correspondientes.
   • La métrica final es la razón:
     $$\gamma_{W1} := \frac{w_{int}}{w_{int} + w_{ext}}$$
   • Esta razón oscila entre 0 y 1, donde los valores más altos indican una mayor contribución relativa de la variabilidad interna.

3. Ventajas Computacionales:

   • El método solo requiere ordenar y diferenciar cuantiles.
   • No involucra parámetros adicionales (a diferencia del agrupamiento por histogramas).
   • Se aplica a cualquier forma de distribución, incluyendo variables no gaussianas.

Validación y Resultados
El estudio valida $\gamma_{W1}$ utilizando datos climáticos sintéticos (distribuciones Gaussianas, uniformes y lognormales) y lo aplica al Gran Conjunto del Modelo del Sistema de la Tierra Comunitario (CESM-LE) para la temperatura del aire a 2 m y la precipitación total bajo escenarios históricos (20C) y de forzamiento RCP8.5.

• Análisis de Datos Sintéticos:

  • Robustez: A diferencia de $\gamma_{var}$ (sensible a valores atípicos) y $\gamma_{info}$ (sensible a valores atípicos y elecciones de binning), $\gamma_{W1}$ proporciona estimaciones estables independientemente de la forma de la distribución o la presencia de valores atípicos.
  • Tamaño del Conjunto: La estabilidad de la métrica depende del tamaño del conjunto ($N_{ens}$). Las estimaciones se vuelven fiables cuando $N_{ens} \approx 40$ o más. Por debajo de este umbral, el error de muestreo en la media del conjunto afecta a la métrica.
  • Comparación: $\gamma_{W1}$ es computacionalmente más eficiente que $\gamma_{info}$ (que requiere la búsqueda de números de bin óptimos, $O(NB)$), pero ligeramente menos eficiente que $\gamma_{var}$ ($O(N)$ frente a $O(N \log N)$ para la ordenación).

• Aplicación al CESM-LE:

  • Temperatura: Todas las métricas indicaron que la contribución relativa de la variabilidad interna disminuye a medida que aumenta el forzamiento radiativo (de 20C a RCP8.5). Sin embargo, $\gamma_{W1}$ mostró la señal más clara de esta respuesta, con la mayor amplitud en los mapas de diferencia.
  • Precipitación: Los datos de precipitación suelen presentar distribuciones de cola pesada y no gaussianas. Bajo ambos escenarios de forzamiento, $\gamma_{var}$ se saturó cerca de 1 globalmente y $\gamma_{info}$ mostró cambios mínimos, fallando en detectar la respuesta al aumento del forzamiento. En contraste, $\gamma_{W1}$ no se saturó, revelando estructuras espaciales claras (por ejemplo, reducción de la variabilidad interna en latitudes altas y en los océanos tropicales) y detectando con éxito la respuesta forzada.

Contribuciones Clave

1. Métrica Novedosa: Introducción de $\gamma_{W1}$, una métrica libre de parámetros basada en el transporte óptimo que cuantifica la magnitud relativa de la variabilidad interna.
2. Agnosticismo de la Distribución: La métrica captura la forma completa de la distribución, lo que la hace adecuada para variables climáticas no gaussianas y de cola pesada donde los métodos basados en la varianza fallan.
3. Robustez: Demostró estabilidad contra valores atípicos e independencia de parámetros arbitrarios (como el ancho de bin), siempre que el tamaño del conjunto sea suficiente ($N_{ens} \gtrsim 40$).
4. Validación Empírica: La aplicación al CESM-LE demuestra que $\gamma_{W1}$ es más efectiva que las métricas existentes para detectar cambios en la variabilidad interna en relación con la variabilidad forzada, particularmente para la precipitación.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que la distancia de 1-Wasserstein proporciona una "herramienta simple y útil" para analizar conjuntos de datos climáticos de gran escala. Los autores posicionan a $\gamma_{W1}$ como una alternativa superior a las métricas basadas en la varianza para datos no gaussianos y como una alternativa más robusta y libre de parámetros a las métricas de teoría de la información. El estudio sugiere que $\gamma_{W1}$ ofrece una señal más clara de la respuesta forzada en las proyecciones climáticas, especialmente para variables con propiedades distributivas complejas. Los autores señalan que, si bien la métrica es efectiva, un análisis detallado de las causas específicas de la variabilidad interna y forzada utilizando esta nueva herramienta sigue siendo un tema para trabajos futuros. También esbozan posibles extensiones, como el uso de baricentros de Wasserstein para las medias de los conjuntos y la aplicación de la métrica a conjuntos multi-modelo para abordar la incertidumbre de los modelos.